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解析几何中的定值定点问题(一)
一、定点问题
【例1】.已知椭圆:的离心率为,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.
⑴求椭圆C的方程;
⑵设,、是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点,连结交椭圆于另一点,求直线的斜率的取值范围;
⑶在⑵的条件下,证明直线与轴相交于定点.
解:⑴由题意知,所以,即,又因为,所以,故椭圆的方程为:.
⑵由题意知直线的斜率存在,设直线的方程为 ①
联立消去得:,
由得,
又不合题意,
所以直线的斜率的取值范围是或.
⑶设点,则,直线的方程为,
令,得,将代入整理,得. ②
由得①代入②整理,得,
所以直线与轴相交于定点.
【针对性练习1】 在直角坐标系中,点到点,的距离之和是,点的轨迹是与轴的负半轴交于点,不过点的直线与轨迹交于不同的两点和.
⑴求轨迹的方程;
⑵当时,求与的关系,并证明直线过定点.
解:⑴∵点到,的距离之和是,∴的轨迹是长轴为,焦点在轴上焦中为的椭圆,其方程为.
⑵将,代入曲线的方程,整理得 ,因为直线与曲线交于不同的两点和,所以 ①
设,,则, ②
且,显然,曲线与轴的负半轴交于点,所以,.由,得.
将②、③代入上式,整理得.所以,即或.经检验,都符合条件①,当时,直线的方程为.显然,此时直线经过定点点.即直线经过点,与题意不符.当时,直线的方程为.
显然,此时直线经过定点点,且不过点.综上,与的关系是:,且直线经过定点点.
【针对性练习2】在平面直角坐标系中,如图,已知椭圆的左、右顶点为A、B,右焦点为F。设过点T()的直线TA、TB与椭圆分别交于点M、,其中m0,。
(1)设动点P满足,求点P的轨迹;
(2)设,求点T的坐标;
(3)设,求证:直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关)。
【解析】 本小题主要考查求简单曲线的方程,考查方直线与椭圆的方程等基础知识。考查运算求解能力和探究问题的能力。
解:(1)设点P(x,y),则:F(2,0)、B(3,0)、A(-3,0)。
由,得 化简得。
故所求点P的轨迹为直线。
(2)将分别代入椭圆方程,以及得:M(2,)、N(,)
直线MTA方程为:,即,
直线NTB 方程为:,即。
联立方程组,解得:,
所以点T的坐标为。
(3)点T的坐标为
直线MTA方程为:,即,
直线NTB 方程为:,即。
分别与椭圆联立方程组,同时考虑到,
解得:、。
(方法一)当时,直线MN方程为:
令,解得:。此时必过点D(1,0);
当时,直线MN方程为:,与x轴交点为D(1,0)。
所以直线MN必过x轴上的一定点D(1,0)。
(方法二)若,则由及,得,
此时直线MN的方程为,过点D(1,0)。
若,则,直线MD的斜率,
直线ND的斜率,得,所以直线MN过D点。
因此,直线MN必过轴上的点(1,0)。
【针对性练习3】已知椭圆C中心在原点,焦点在轴上,焦距为,短轴长为.(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;(Ⅱ)若直线:与椭圆交于不同的两点(不是椭圆的左、右顶点),且以为直径的圆经过椭圆的右顶点.求证:直线过定点,并求出定点的坐标.
解: (Ⅰ)设椭圆的长半轴为,短半轴长为,半焦距为,则
解得 ∴ 椭圆C的标准方程为 . …… 4分
(Ⅱ)由方程组 消去,得
. …… 6分
由题意△,
整理得: ① ………7分
设,则
, . ……… 8分
由已知,, 且椭圆的右顶点为,
∴ . …… 10分
即 ,
也即 ,
整理得.解得 或 ,均满足① ……… 11分
当时,直线的方程为 ,过定点,不符合题意舍去;
当时,直线的方程为 ,过定点,
二、定值问题
【例2】.已知椭圆的中心在原点,焦点在轴的非负半轴上,点到短轴端点的距离是4,椭圆上的点到焦点距离的最大值是6.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程和离心率;
(Ⅱ)若为焦点关于直线的对称点,动点满足,问是否存在一个定点,使到点的距离为定值?若存在,求出点的坐标及此定值;若不存在,请说明理由.
解:(Ⅰ)设椭圆长半轴长及半焦距分别为,由已知得
.
所以椭圆的标准方程为. 离心率
(Ⅱ),设由得
化简得,即
故存在一个定点,使到点的距离为定值,其定值为
【例3】.已知抛物线C的顶点在坐标原点,焦点在x轴上,P(2,0)为定点.
(Ⅰ)若点P为抛物线的焦点,求抛物线C的方程;
(Ⅱ)若动圆M过点P,且圆心M在抛物线C上运动,点A、B是圆M与轴的两交点,试推断是否
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