第5讲三角函数的图像与性质.doc

. ... 第5讲　　三角函数的图像与性质 ★知 识 梳理 正弦函数、余弦函数的性质： （1）定义域：都是R （2）值域：都是[-1，1] 对于，当时，取最大值1；当时，取最小值－1； 对于，当时，取最大值1，当时，取最小值－1。 （3）周期性：①、的最小正周期都是2 ②和的最小正周期都是 （4）奇偶性与对称性： 正弦函数是奇函数，对称中心是，对称轴是直线； 余弦函数是偶函数，对称中心是，对称轴是直线 （5）单调性： 在区间上单调递增，在单调递减； 在上单调递增，在区间上单调递减，。 （6）正切函数的图象和性质： （1）定义域：。 （2）值域是R，在上面定义域上无最大值也无最小值； （3）周期性：周期是. （4）奇偶性与对称性：奇函数，对称中心是， （5）单调性：正切函数在开区间内都是增函数。 ★重 难 点 突 破 1.重点：熟练掌握利用三角恒等变换化简三角函数解析式式，熟悉正弦函数和余弦函数的图象与性质。 2.难点：化简三角函数式的过程. 3.重难点：合理利用三角变换公式化简三角函数解析式，利用三角函数图象与性质处理与不等关系相关的问题 (1)利用单调性处理不等关系 问题1. (08四川)设≤，若，则的取值范围是 （A） （B） （C） （D） 点拨：处理三角函数的问题,除于记住定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、周期性之外，还要记对称轴、对称中心、正负区间． ，即，即，即； 又由，得；综上，，即．选C． （2）研究三角函数的性质 问题2. （08安徽卷）已知函数 （Ⅰ）求函数的最小正周期和图象的对称轴方程 （Ⅱ）求函数在区间上的值域 点拨:处理三角函数的图象与性质的问题关键是将解析式化为的形式;求三角函数的值域先考虑角的范围,再借助于图象. 解：（1） ,由 函数图象的对称轴方程为 （2） 因为在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以 当时，取最大值 1 又 ，当时，取最小值 所以 函数 在区间上的值域为 ★热 点 考 点 题 型 探 析 考点1　　作三角函数的图象 题型1:作正弦函数的图象 ［例1］（2007·天津改编）画出函数在一个周期内的图像． 【解题思路】三角函数作图的三个主要步骤（列表、描点、连线）．五个特殊点的选取． ［解析］（1）列表如下： 0 0 0 － 0 　　（2）描点、连线（如图3－3－2） 图3-3-2 图3-3-2 【名师指引】五点法作图的技巧： 函数的图像在一个周期内的五点横向间距必相等，为，于是五点横坐标依次为，这样，不仅可以快速求出五点坐标，也可在求得的位置后，用圆规截取其他四点，从而准确作出图像． 题型2.借助于三角函数的图象处理有关问题 问题2. （2007·天津）设函数，则（ 　 ） A、在区间上是增函数 B、在区间上是减函数 C、在区间上是增函数 D、在区间上是减函数 【解题思路】作出图象,一目了然 ［解析］函数的图象如下图 选 A． 【名师指引】数形结合在处理三角函数的单调性的有关问题时起到关键作用. 【新题导练】 1.画出函数在区间上的图像． ［解析］（1）列表如下： 0 0 1 0 　　　　　 （2）描点、连线（如图3－3－3） 2.( 广东省北江中学2009届高三上学期12月月考)已知函数对任意都有则等于（ ） A. 或 B. 或 C. D. 或 解析: 由，函数图象关于，是最大值或最小值选B 考点2　　值域与最值问题 题型1.化为的形式 [例1]. (2009年广东省广州市高三年级调研测试) 已知R. （1）求函数的最小正周期; （2）求函数的最大值，并指出此时的值． 【解题思路】利用对解析式进行化简,再进一步处理. 解：（1）∵ ∴. (2) 当时, 取得最大值, 其值为2 . 此时，即Z. 【名师指引】研究三角函数的图象与性质一般先将解析式化为的形式,再研究函数的性质. 利用整体代换的思想求出函数的最大值和最小值是解题的关键． 题型2.通过换元用二次函数的知识研究值域或最值. ［例2］1，3，5求函数的最大值和最小值． 1，3，5 【解题思路】将余弦化为正弦,再换元处理. ［解析］设，则 所以 故当即时，，当即时，． 【名师指引】若函数出现既有一次项又有二项，一般都要利用二次函数的思想． 【新题导练】 3.设．求的最大值及最小正周期. 解： ． 故的最大值