椭圆经典例题讲解.doc

WORD格式编辑整理 专业资料分享 椭圆 基础过关 基础过关 1．椭圆的两种定义 (1) 平面内与两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于)的点的轨迹叫椭圆，这两个定点叫做椭圆的 ， 之间的距离叫做焦距． 注：①当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是 ②当2a＜|F1F (2) 椭圆的第二定义：到 的距离与到 的距离之比是常数，且 的点的轨迹叫椭圆．定点F是椭圆的 ，定直线l是 ，常数e是 ． 2．椭圆的标准方程 (1) 焦点在轴上，中心在原点的椭圆标准方程是：，其中( 0，且 ) (2) 焦点在轴上，中心在原点的椭圆标准方程是，其中a，b满足： ． （3）焦点在哪个轴上如何判断？ 3．椭圆的几何性质(对,a b 0进行讨论) (1) 范围： ≤ x ≤ ， ≤ y ≤ (2) 对称性：对称轴方程为 ；对称中心为 ． (3) 顶点坐标： ，焦点坐标： ，长半轴长： ，短半轴长： ；准线方程： ． (4) 离心率： ( 与 的比)， ，越接近1，椭圆越 ；越接近0，椭圆越接近于 ． (5) 焦半径公式：设分别为椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，则 ，= 。 4．焦点三角形应注意以下关系（老师补充画出图形）： (1) 定义：r1＋r2＝2a (2) 余弦定理：＋－2r1r2cos＝(2c)2 (3) 面积：＝r1r2 sin＝·2c| y0 |(其中P()为椭圆上一点，|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，∠F1PF2＝) 典型例题 典型例题 变式训练2：已知P（x0,y0）是椭圆（a＞b＞0）上的任意一点，F1、F2是焦点，求证：以PF2为直径的圆必和以椭圆长轴为直径的圆相内切. 证明 设以PF2为直径的圆心为A，半径为r. ∵F1、F2为焦点，所以由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a，|PF2|=2 ∴|PF1|+2r=2a，即|PF1|=2（a－r）连结OA |OA|= 故以PF2为直径的圆必和以长轴为直径的圆相内切. 评注 运用椭圆的定义结合三角形中位线定理，使题目得证。 例3. 如图，椭圆的中心在原点，其左焦点与抛物线的焦点重合，过的直线与椭圆交于A、B两点，与抛物线交于C、D两点．当直线与x轴垂直时，． （1）求椭圆的方程； （2）求过点O、，并且与椭圆的左准线相切的圆的方程； （3）求的最大值和最小值． 解：（1）由抛物线方程，得焦点． 设椭圆的方程：． 解方程组 得C（-1，2），D（1，-2）． 由于抛物线、椭圆都关于x轴对称， ∴，， ∴ ． …………2分 ∴又， 因此，，解得并推得． 故椭圆的方程为 ． …………4分 （2）， 圆过点O、， 圆心M在直线上． 设则圆半径，由于圆与椭圆的左准线相切， ∴ 由得解得 所求圆的方程为…………………………8分 （3） 由 ①若垂直于轴，则， ， …………………………………………9分 ②若与轴不垂直，设直线的斜率为，则直线的方程为 由 得 ，方程有两个不等的实数根． 设，. , ………………………………11分 = ，所以当直线垂于轴时，取得最大值 当直线与轴重合时，取得最小值 变式训练3：在平面直角坐标系xOy中，已知点A(-1, 0)、B(1, 0), 动点C满足条件：△ABC的周长为2＋2 EQ \r(2).记动点C的轨迹为曲线W. (1)求W的方程； (2)经过点（0, EQ \r(2)）且斜率为k的直线l与曲线W 有两个不同的交点P和Q， 求k的取值范围； （3）已知点M（ EQ \r(2)，0），N（0, 1），在(Ⅱ)的条件下，是否存在常数k，使得向量与共线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由. 解：(Ⅰ) 设C（x, y）, ∵ , , ∴ , ∴ 由定义知