线面垂直习题精选.doc

.WORD完美.格式编辑. .技术资料.专业整理. 线面垂直的证明中的找线技巧 通过计算，运用勾股定理寻求线线垂直 1 如图1，在正方体中，为 的中点，AC交BD于点O，求证：平面MBD． 证明：连结MO，，∵DB⊥，DB⊥AC，， ∴DB⊥平面，而平面 ∴DB⊥． 设正方体棱长为，则，． 　　 在Rt△中，．∵，∴． ∵OM∩DB=O，∴ ⊥平面MBD． 评注：在证明垂直关系时，有时可以利用棱长、角度大小等数据，通过计算来证明． 利用面面垂直寻求线面垂直 2 如图2，是△ABC所在平面外的一点，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC．求证：BC⊥平面PAC． 　 证明：在平面PAC内作AD⊥PC交PC于D． 因为平面PAC⊥平面PBC，且两平面交于PC， 平面PAC，且AD⊥PC， 由面面垂直的性质，得AD⊥平面PBC． 又∵平面PBC，∴AD⊥BC． ∵PA⊥平面ABC，平面ABC，∴PA⊥BC． ∵AD∩PA=A，∴BC⊥平面PAC． （另外还可证BC分别与相交直线AD，AC垂直，从而得到BC⊥平面PAC）． 评注：已知条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直．在空间图形中，高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系，通过本题可以看到，面面垂直线面垂直线线垂直． 　　一般来说，线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决，其关系为：线线垂直线面垂直面面垂直．这三者之间的关系非常密切，可以互相转化，从前面推出后面是判定定理，而从后面推出前面是性质定理．同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题．下面举例说明． 3 如图１所示，ABCD为正方形，⊥平面ABCD，过且垂直于的平面分别交于．求证：，． 　　证明：∵平面ABCD， 　　∴．∵，∴平面SAB．又∵平面SAB，∴．∵平面AEFG，∴．∴平面SBC．∴．同理可证． 评注：本题欲证线线垂直，可转化为证线面垂直，在线线垂直与线面垂直的转化中，平面起到了关键作用，同学们应多注意考虑线和线所在平面的特征，从而顺利实现证明所需要的转化． 4 如图２，在三棱锥Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD， 作BE⊥CD，Ｅ为垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求证：AH⊥平面BCD． 证明：取AB的中点Ｆ，连结CF，DF． ∵，∴． ∵，∴． 又，∴平面CDF． ∵平面CDF，∴． 又，，　 ∴平面ABE，． ∵，，， ∴ 平面BCD． 评注：本题在运用判定定理证明线面垂直时，将问题转化为证明线线垂直；而证明线线垂直时，又转化为证明线面垂直．如此反复，直到证得结论． 5 如图３，是圆Ｏ的直径，Ｃ是圆周上一点，平面ABC．若AE⊥PC ，Ｅ为垂足，Ｆ是PB上任意一点，求证：平面AEF⊥平面PBC． 证明：∵AB是圆Ｏ的直径，∴． ∵平面ABC，平面ABC， ∴．∴平面APC． ∵平面PBC，　 ∴平面APC⊥平面PBC． ∵AE⊥PC，平面APC∩平面PBC＝PC， ∴AE⊥平面PBC． ∵平面AEF，∴平面AEF⊥平面PBC． 评注：证明两个平面垂直时，一般可先从现有的直线中寻找平面的垂线，即证线面垂直，而证线面垂直则需从已知条件出发寻找线线垂直的关系． 6. 空间四边形ABCD中，若AB⊥CD，BC⊥AD，求证：AC⊥BD 证明：过A作AO⊥平面BCD于O 同理BC⊥DO ∴O为△ABC的垂心 7. 证明：在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1C⊥平面BC 证明：连结AC AC为A1C在平面AC 8. 如图，平面ABCD，ABCD是矩形，M、N分别是AB、PC的中点，求证： . 证：取PD中点E，则 9如图在ΔABC中， AD⊥BC， ED=2AE， 过E作FG∥BC， 且将ΔAFG沿FG折起，使∠AED=60°，求证:AE⊥平面ABC 分析： 弄清折叠前后，图形中各元素之间的数量关系和位置关系。 解： ∵FG∥BC，AD⊥BC ∴AE⊥FG ∴AE⊥BC 设AE=a，则ED=2 由余弦定理得： AD2=AE2+ED2-2?AE?EDcos60° =3a2 ∴ED2=