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WORD格式编辑整理 专业资料分享 导数与极限 （一）极限 1. 概念 （1）自变量趋向于有限值的函数极限定义（定义） ，，当时，有。 （2）单侧极限 左极限： ，，当时，有。 右极限： ，，当时，有。 （3）自变量趋向于无穷大的函数极限 定义1：，当，成立，则称常数为函数在趋于无穷时的极限，记为。 为曲线的水平渐近线。 定义2：，当时，成立，则有。 定义3：，当时，成立，则有。 运算法则： 1)??????? 若，，则。 2)??????? 若，，则。 3)??????? 若，则。 注：上述记号是指同一变化过程。 （4）无穷小的定义 ，，当时，有，则称函数在时的无穷小（量），即 。 （5）无穷大的定义 ，，当时，有，则称函数在时的无穷大（量），记为 。 直线为曲线的垂直渐近线。 ? 2．无穷小的性质 定理1 有限多个无穷小的和仍是无穷小。 定理2 有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小。 推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小。 推论2 有限个无穷小的乘积是无穷小。 无穷小与无穷大的关系 若，且不取零值，则是时的无穷小。 3．极限存在的判别法 （1）。 。 （2），其中是时的无穷小。 （3）夹逼准则：设在点的某个去心邻域内有 ，且已知和，则必有 。 4．极限的性质 （1）极限的唯一性 若且，则。 （2）局部有界性 若，则，在点的某个去心邻域内有。 （3）局部保号性 （I）若，且（或），则必存在的某个去心邻域，当时，有（或）。 （II）若在点的某个去心邻域内有（或），且，则（或）。 ? 5．极限的四则运算与复合运算 设是常数，则 （1） （2） （3） （4） （5） 则. ? 6．两个重要极限 （1）； （2） 或 。 ? 7．无穷小的阶的比较 若和都是在同一自变量变化中的无穷小量，且0，则 （1）若，则称关于是高阶无穷小量，记作； （2）若，则称和是等价无穷小量，记作； （3）若，则称和是同阶无穷小量，记作； 一般情况下，若存在常数，，使成立 ，就称和是同阶无穷小量。 （4）若以作为时的基本无穷小量，则当（为某一正数）时，称是阶无穷小量。 ? 定理1 。 定理2 设，，且 存在，则。 常用的等价无穷小 时，， 。 （二）函数的连续性 1．定义 若函数在点的某个邻域内有定义，则在点处连续 。 2．连续函数的运算 连续函数的和、差、积、商（分母不为零）均为连续函数； 连续函数的反函数、复合函数仍是连续函数； 一切初等函数在定义区间内都是连续函数。 3．间断点 （1）间断点的概念 不连续的点即为间断点。 ? （2）间断点的条件 若点满足下述三个条件之一，则为间断点： （a）在没有定义； （b）不存在； （c）在有定义，也存在，但。 （3）间断点的分类： （i）第一类间断点：在间断点处左右极限存在。它又可分为下述两类： 可去间断点：在间断点处左右极限存在且相等； 跳跃间断点：在间断点处左右极限存在但不相等； （ii）第二类间断点：在间断点处的左右极限至少有一个不存在。 4．闭区间上连续函数的性质 （1）概念 若函数在区间上每一点都连续，在点右连续，在点左连续，则称在区间上连续。 （2）几个定理 最值定理：如果函数在闭区间上连续，则在此区间上必有最大和最小值。 有界性定理：如果函数在闭区间上连续，则在此区间上必有界。 介值定理：如果函数在闭区间上连续，则对介于和之间的任一值，必有，使得。 零点定理：设函数在闭区间上连续，若，则必有，使得。 （三）导数 1．导数的概念 （1）定义 设函数在点的某个邻域内有定义，当自变量在点处取得改变量时，函数取得相应的改变量 ，若极限 存在，则称此极限值为函数在点处的导数（或微商），记作 。 导数定义的等价形式有 。 （2）左、右导数 左导数 右导数 存在 。 ? 2．导数的几何意义 函数在点处的导数在几何上表示曲线在点处的切线的斜率，即，从而曲线在点处的 切线方程为 法线方程为 3．函数的可导性与连续性之间的关系 函数在点处可导，则函数在该点必连续，但反之未必。即函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件，但不是充分条件。 因此，若函数点处不连续，则点处必不可导。 4．求导法则与求导公式 （1）四则运算 若均为可导函数，则 ， ， ， （其中为常数）， ， （）。 ? （2）复合函数求导 设，，且和都可导