基本不等式和应用.doc

WORD格式整理 专业知识分享 基本不等式及其应用 1．基本不等式eq \r(ab)≤eq \f(a＋b,2) (1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0； (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)； (2)eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2(a，b同号)． (3)ab≤eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2 (a，b∈R)； (4)eq \f(a2＋b2,2)≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)． 以上不等式等号成立的条件均为a＝b. 3．算术平均数与几何平均数 (1)设a≥0，b≥0，则a，b的算术平均数为eq \f(a＋b,2)，几何平均数为eq \r(ab). (2)基本不等式可叙述为两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数；也可以叙述为两个正数的等差中项不小于它们正的等比中项． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x0，y0，则 (1)若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值eq \f(s2,4)； (2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2eq \r(p). 选择题： 设x0，y0，且x＋y＝18，则xy的最大值为(　　) A．80 B．77 C．81 D．82 解析　∵x0，y0，∴eq \f(x＋y,2)≥eq \r(xy)，即xy≤(eq \f(x＋y,2))2＝81，当且仅当x＝y＝9时，(xy)max＝81 若正数x，y满足4x2＋9y2＋3xy＝30，则xy的最大值是(　　) A.eq \f(4,3) B.eq \f(5,3) C．2 D.eq \f(5,4) 解析　由x＞0，y＞0，得4x2＋9y2＋3xy≥2·(2x)·(3y)＋3xy(当且仅当2x＝3y时等号成立)，∴12xy＋3xy≤30，即xy≤2，∴xy的最大值为2 若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是(　　) A．[0,2] B．[－2,0] C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2] 解析　2eq \r(2x＋y)≤2x＋2y＝1，∴2x＋y≤eq \f(1,4)，即2x＋y≤2－2，∴x＋y≤－2 若实数x，y满足xy0，则eq \f(x,x＋y)＋eq \f(2y,x＋2y)的最大值为(　　) A．2－eq \r(2) B．2＋eq \r(2) C．4＋2eq \r(2) D．4－2eq \r(2) 解析　eq \f(x,x＋y)＋eq \f(2y,x＋2y)＝eq \f(x?x＋2y?＋2y?x＋y?,?x＋y??x＋2y?)＝eq \f(x2＋4xy＋2y2,x2＋3xy＋2y2)＝1＋eq \f(xy,x2＋3xy＋2y2)＝1＋eq \f(1,\f(x,y)＋3＋\f(2y,x))≤1＋eq \f(1,3＋2\r(2))＝4－2eq \r(2)，当且仅当eq \f(x,y)＝eq \f(2y,x)，即x2＝2y2时取等号 若函数＝x＋eq \f(1,x－2)(x2)在x＝a处取最小值，则a等于(　　) A．1＋eq \r(2) B．1＋eq \r(3) C．3 D．4 解析　当x2时，x－20，f(x)＝(x－2)＋eq \f(1,x－2)＋2≥2eq \r(?x－2?×\f(1,x－2))＋2＝4，当且仅当x－2＝eq \f(1,x－2)(x2)，即x＝3时取等号，即当f(x)取得最小值时，x＝3，即a＝3 已知x，y∈(0，＋∞)，2x－3＝(eq \f(1,2))y，若eq \f(1,x)＋eq \f(m,y)(m0)的最小值为3，则m等于(　　) A．2 B．2eq \r(2) C．3 D．4 解析　由2x－3＝(eq \f(1,2))y得x＋y＝3，eq \f(1,x)＋eq \f(m,y)＝eq \f(1,3)(x＋y)(eq \f(1,x)＋eq \f(m,y))＝eq \f(1