函数奇偶性和单调性的综合应用专题.doc

WORD格式编辑整理 专业资料分享 函数奇偶性与单调性的综合应用 专题 【寄语：亲爱的孩子，将来的你一定会感谢现在拼命努力的自己！】 教学目标：1.掌握函数的单调性与奇偶性的概念以及基本性质；. 2.能综合运用函数的单调性与奇偶性来分析函数的图像或性质； 3.能够根据函数的一些特点来判断其单调性或奇偶性. 教学重难点：函数单调性的证明；根据单调性或奇偶性分析函数的性质. 【复习旧识】 函数单调性的概念是什么？如何证明一个函数的单调性？ 函数奇偶性的概念是什么？如何证明一个函数的奇偶性？ 奇函数在关于原点对称的区间上，其单调性有何特点？偶函数呢？ 【新课讲解】 一、常考题型 根据奇偶性与单调性，比较两个或多个函数值的大小； 当题目中出现“＞0（或＜0）”或“＞0（或＜0）”时，往往还是考察单调性； 证明或判断某一函数的单调性； 证明或判断某一函数的奇偶性； 根据奇偶性与单调性，解某一函数不等式（有时是“＞0（或＜0）”时的取值范围）； 确定函数解析式或定义域中某一未知数（参数）的取值范围. 二、常用解题方法 画简图（草图），利用数形结合； 运用奇偶性进行自变量正负之间的转化； 证明或判断函数的单调性时，有时需要分类讨论. 三、误区 函数的奇偶性是函数的整体性质，与区间无关； 判断函数奇偶性，应首先判断其定义域是否关于原点对称； 奇函数若在“”处有定义，必有“”； 函数单调性可以是整体性质也可以是局部性质，因题而异； 运用单调性解不等式时，应注意自变量取值范围受函数自身定义域的限制. 四、函数单调性证明的步骤： （1） 根据题意在区间上设 ； （2） 比较大小 ； （3） 下结论 . 函数奇偶性证明的步骤： （1）考察函数的定义域 ； （2）计算 的解析式，并考察其与 的解析式的关系； （3）下结论 . 【典型例题】 例1 设是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且它在[0，＋∞)上单调递增，若＝，＝，＝，则，，的大小关系是(　　) A． B． C． D． 【考点】函数单调性；函数奇偶性，对数函数的性质. 【解析】　因为log eq \s\do8(eq \r(2)) eq \r(3)log eq \s\do8(eq \r(2)) 2＝2， 0log eq \s\do8(eq \r(3)) eq \r(2)log eq \s\do8(eq \r(3)) eq \r(3)＝1， 所以log eq \s\do8(eq \r(3)) eq \r(2)log eq \s\do8(eq \r(2)) eq \r(3)2. 因为f(x)在[0，＋∞)上单调递增， 所以f(log eq \s\do8(eq \r(3)) eq \r(2))f(log eq \s\do8(eq \r(2)) eq \r(3))f(2)， 因为f(x)是偶函数，所以 ＝＝f(－log eq \s\do8(eq \r(2)) eq \r(3))＝f(log eq \s\do8(eq \r(2)) eq \r(3))， ＝＝f(－log eq \s\do8(eq \r(3)) eq \r(2))＝f(log eq \s\do8(eq \r(3)) eq \r(2))， ＝＝f(2)．所以. 【答案】　C 例2 （2014?成都一模）已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f （1）=1，若m，n∈[﹣1，1]，m+n≠0时有＞0． （1）判断f （x）在[﹣1，1]上的单调性，并证明你的结论； （2）解不等式：f（x+）＜f（）； （3）若f（x）≤t2﹣2at+1对所有x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立，求实数t的取值范围． 【考点】 函数的奇偶性；函数单调性的判断与证明；函数的最值与恒成立问题． 【解析】解：（1）任取﹣1≤x1＜x2≤1，则 f（x1）﹣f（x2）=f（x1）+f（﹣x2）= ∵﹣1≤x1＜x2≤1，∴x1+（﹣x2）≠0， 由已知＞0，又x1﹣x2＜0， ∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x）在[﹣1，1]上为增函数； （2）∵f（x）在[﹣1，1]上为增函数， 故有 （3）由（1）可知：f（x）在[﹣1，1]上是增函数， 且f（1）=1，故对x∈[﹣l，1]，恒有f（x）≤1． 所以要使f（x）≤t2﹣2at+1，对所有x∈[﹣1，1]，a