增强模型意识,口算解立体几何.doc

.WORD完美.格式编辑. PAGE .技术资料.专业整理. 增强模型意识，口算解题不再是梦想 新课标教材对高中立体几何的教学分成了两套思路。一套是传统思路，以欧式几何中的公理、定理及推论作为一条主线，灵活添加辅助线，数形结合求得题解；另一套则是借助空间直角坐标系，将立体图形坐标化，从而将几何问题完全转化成代数问题，再通过方程来解决问题。 在此，我愿意另辟蹊径，用模型的意识来看待立体几何问题，利用补形法，力争将高考立体几何大题变为口算题！为了实现这一目标，我们先来熟悉一下几个模型： 长方体的“一角”模型 在三棱锥中，，且. ①三棱锥的高 证明：设直线AH交BC于D点，由于H点一定在△ABC内部，所以D点一定在BC上，连结PD. 在△PAD中： ②的平面角分别是： . 例1、四棱锥中，底面是边长为的正方形，，求的大小. 分析：考虑三棱锥，它就是模型1－长方体的“一个角”.本来我们可以利用结论② 解：设二面角的大小为. 则：，故 我们看到象例1这样本来是高考中大题目，可是抓到了长方体“一角”，做起来就变得很轻松了. 例2、直二面角中，ABCD是边长为2的正方形（见图）AE＝BE，求B点到面ACE的距离. 分析：这是一道高考中的大题.因为D－AB－E是直二面角，BC⊥面ABE，当然面ABCD⊥面ABE，又因为ABCD是正方形，BC要垂直于面ABE. 在ABE中，AE就是面内的一条线，而BE就是BF在该面内的射影，而AE是垂直于BF，这是因为BF垂直面ACE的，所以AE是垂直于面ACE的.所以AE垂直于BF，又有AE＝BE，所以△ABE是等腰直角三角形.这一小段是熟悉几何环境的过程.图形中特殊的位置关系约束△ABE的形状. 补充图形，在正方体看问题.在这里看直二面角的局部图形. 问题就转化为：求D到面ACE的距离，就是求O点到面AB1C的距离 因为O，B到面ACB1的距离相等，所以只须求B到面ACB1的距离即可， 考虑三棱锥B－ACB1，它是模型2. 所以，D到面ACE的距离为. 点评：比起高考评分标准给的答案那要简单得多了.这儿要注意：一个是把局部的直二面角根据它的AEB是以E为直角的等腰直角三角形和ABCD是正方形的图形特征，补足正方体，这就是一种扩大的几何环境，而正方体也就是长方体模型，另一方面又抓到这正方体的一个角B－ACB1，那么这个角的模型更高，这就使我们在运算过程中得以简化. 所以说一道看起来很复杂的几何题，用典型几何模型做就显得轻松. 例3　底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截，AB＝4，BC＝2，CC1＝3，BE＝1（见图），求C点到面AEC1F的距离 分析：这也是一道高考题，在评分标准中给出了很多的辅助线.现在我们用典型的空间模型，再对这道题解解看. 解：延长C1E交CB延长线于M，延长CD，交C1F延长线于N，C－C1NM是模型 因为 同理. 所以，C到面C1MN的距离为：. 2、公式的几何模型 AB是PB在内的射影，BC是内一条直线则有. AA A A D D 大家要注意搞清楚那个是，那个是，那个是，实际上只要搞清那个是，另外两个就是. 特别的，内的直线不一定过B，如上面的右图所示： 在直线AB上有一点D，过D在画一直线DC，则是直线PB与DC所成的角，则 那么这样的有可能利用这样的模型计算出异面直线成角.PB和DC的成角. 例4　EA⊥面ABCD，ABCD是边长为的正方形，EA＝1，在AC上是否存在P点，使PE、BC成角. E分析： E 即所以. 可见AC中点即是要找的点P 例5　长方体中，AB＝2，AA1＝1，BD与面AA1B1B成30°角.AE⊥BD于E，F为A1B1的中点，求AE，BF成角. 解： ＝ 所以AE，BF成角为. 这样的一个题目，最重要的是位.在高考评分标准中，都要有很长的解题过程中. 这些结论在高考中，教材中有的可以直接用，有的可以先用，然后把结论来源说明.这样可以减少思考的时间与计算量.这就相当于电脑中的集成块一样，减少空间. 3、双垂四面体模型 如图3，四面体A－BCD，AB⊥面BCD，CD⊥面BCA，这种四面体构成许多简单多面体的基本图形，不妨称为双垂四面体，主要性质： ①； ②以BD、BC和AC为棱的二面角都是直二面角，以AB、BC为棱的二面角的平面角，分别是与 ③以AD为棱的二面角为，则； ④对棱AB与CD垂直，且BC是它们的公垂线； ⑤对棱AD与BC为异面直线，它们夹角为，则 例3　如图4，ABCD是上下底长分别为2和6，高为的等腰