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PAGE 离散数学考试试题（A卷及答案） 一、（10分）某项工作需要派A、B、C和D 4个人中的2个人去完成，按下面3个条件，有几种派法？如何派？ (1)若A去，则C和D中要去1个人； (2)B和C不能都去； (3)若C去，则D留下。 解 设A：A去工作；B：B去工作；C：C去工作；D：D去工作。则根据题意应有：A?C?D，?(B∧C)，C??D必须同时成立。因此 (A?C?D)∧?(B∧C)∧(C??D) ?(?A∨(C∧? D)∨(?C∧D))∧(?B∨?C)∧(?C∨?D) ?(?A∨(C∧? D)∨(?C∧D))∧((?B∧?C)∨(?B∧?D)∨?C∨(?C∧?D)) ?(?A∧?B∧?C)∨(?A∧?B∧?D)∨(?A∧?C)∨(?A∧?C∧?D) ∨(C∧? D∧?B∧?C)∨(C∧? D∧?B∧?D)∨(C∧? D∧?C)∨(C∧? D∧?C∧?D) ∨(?C∧D∧?B∧?C)∨(?C∧D∧?B∧?D)∨(?C∧D∧?C)∨(?C∧D∧?C∧?D) ?F∨F∨(?A∧?C)∨F∨F∨(C∧? D∧?B)∨F∨F∨(?C∧D∧?B)∨F∨(?C∧D)∨F ?(?A∧?C)∨(?B∧C∧? D)∨(?C∧D∧?B)∨(?C∧D) ?(?A∧?C)∨(?B∧C∧? D)∨(?C∧D) ?T 故有三种派法：B∧D，A∧C，A∧D。 二、（15分）在谓词逻辑中构造下面推理的证明：某学术会议的每个成员都是专家并且是工人，有些成员是青年人，所以，有些成员是青年专家。 解：论域：所有人的集合。()：是专家；()：是工人；()：是青年人；则推理化形式为： (()∧())，()(()∧()) 下面给出证明： (1)() P (2)(c) T(1)，ES (3)(()∧()) P (4)( c)∧( c) T(3)，US (5)( c) T(4)，I (6)( c)∧(c) T(2)(5)，I (7)(()∧()) T(6) ，EG 三、（10分）设A、B和C是三个集合，则A?B??(B?A)。 证明：A?B??x(x∈A→x∈B)∧?x(x∈B∧x?A)??x(x?A∨x∈B)∧?x(x∈B∧x?A) ???x(x∈A∧x?B)∧??x(x?B∨x∈A)???x(x∈A∧x?B)∨??x(x∈A∨x?B) ??(?x(x∈A∧x?B)∧?x(x∈A∨x?B))??(?x(x∈A∧x?B)∧?x(x∈B→x∈A)) ??(B?A)。 四、（15分）设A＝{1，2，3，4，5}，R是A上的二元关系，且R＝{2，1，2，5，2，4，3，4，4，4，5，2}，求r(R)、s(R)和t(R)。 解 r(R)＝R∪IA＝{2，1，2，5，2，4，3，4，4，4，5，2，1，1，2，2，3，3，4，4，5，5} s(R)＝R∪R－1＝{2，1，2，5，2，4，3，4，4，4，5，2，1，2，4，2，4，3} R2＝{2，2，2，4，3，4，4，4，5，1，5，5，5，4} R3＝{2，1，2，5，2，4，3，4，4，4，5，2，5，4} R4＝{2，2，2，4，3，4，4，4，5，1，5，5，5，4}＝R2 t(R)＝Ri＝{2，1，2，5，2，4，3，4，4，4，5，2，2，2，5，1，5，4，5，5}。 五、（10分）R是非空集合A上的二元关系，若R是对称的，则r(R)和t(R)是对称的。 证明 对任意的x、y∈A，若xr(R)y，则由r(R)＝R∪IA得，xRy或xIAy。因R与IA对称，所以有yRx或yIAx，于是yr(R)x。所以r(R)是对称的。 下证对任意正整数n，Rn对称。 因R对称，则有xR2y??z(xRz∧zRy)??z(zRx∧yRz)?yR2x，所以R2对称。若对称，则xy??z(xz∧zRy)??z(zx∧yRz)?yx，所以对称。因此，对任意正整数n，对称。 对任意的x、y∈A，若xt(R)y，则存在m使得xRmy，于是有yRmx，即有yt(R)x。因此，t(R)是对称的。 六、（10分）若f：A→B是双射，则f－1：B→A是双射。 证明 因为f：A→B是双射，则f－1是B到A的函数。下证f－1是双射。 对任意x∈A，必存在y∈B使f(x)＝y，从而f－1(y)＝x，所以f－1是满射。 对任意的y1、y2∈B，若f－1(y1)＝f－1(y2)＝x，则f(x)＝y1，f(x