九年级最值问题导学案设计.doc

第PAGE1页（共NUMPAGES7页） 2018年11月21日151****9660的初中数学组卷 1．如图1至图4中，两平行线AB、CD间的距离均为6，点M为AB上一定点． 思考 如图1，圆心为O的半圆形纸片在AB，CD之间（包括AB，CD），其直径MN在AB上，MN=8，点P为半圆上一点，设∠MOP=α． 当α=　90　度时，点P到CD的距离最小，最小值为　2　． 探究一 在图1的基础上，以点M为旋转中心，在AB，CD 之间顺时针旋转该半圆形纸片，直到不能再转动为止，如图2，得到最大旋转角∠BMO=　30　度，此时点N到CD的距离是　2　． 探究二 将如图1中的扇形纸片NOP按下面对α的要求剪掉，使扇形纸片MOP绕点M在AB，CD之间顺时针旋转． （1）如图3，当α=60°时，求在旋转过程中，点P到CD的最小距离，并请指出旋转角∠BMO的最大值； （2）如图4，在扇形纸片MOP旋转过程中，要保证点P能落在直线CD上，请确定α的取值范围． （参考数椐：sin49°=，cos41°=，tan37°=．） 【分析】思考：根据两平行线之间垂线段最短，以及切线的性质定理，直接得出答案； 探究一：根据由MN=8，MO=4，OY=4，得出UO=2，即可得出得到最大旋转角∠BMO=30度，此时点N到CD的距离是 2； 探究二：（1）由已知得出M与P的距离为4，PM⊥AB时，点MP到AB的最大距离是4，从而点P到CD的最小距离为6﹣4=2，即可得出∠BMO的最大值； （2）分别求出α最大值为∠OMH+∠OHM=30°+90°以及最小值α=2∠MOH，即可得出α的取值范围． 【解答】解：思考：根据两平行线之间垂线段最短，直接得出答案，当α=90度时，点P到CD的距离最小， ∵MN=8， ∴OP=4， ∴点P到CD的距离最小值为：6﹣4=2． 故答案为：90，2； 探究一：∵以点M为旋转中心，在AB，CD 之间顺时针旋转该半圆形纸片，直到不能再转动为止，如图2 ∵MN=8，MO=4，OY=4， ∴UO=2， ∴得到最大旋转角∠BMO=30度，此时点N到CD的距离是 2； 探究二 （1）∵α=60°， ∴△MOP是等边三角形， ∴MO=MP=4， ∴PM⊥AB时，点P到AB的最大距离是4， 由已知得出M与P的距离为4， 从而点P到CD的最小距离为6﹣4=2， 当扇形MOP在AB，CD之间旋转到不能再转时，弧MP与AB相切， 此时旋转角最大，∠BMO的最大值为90°； （2）如图3，由探究一可知，点P是弧MP与CD的切点时，α最大，即OP⊥CD，此时延长PO交AB于点H，α最大值为∠OMH+∠OHM=30°+90°=120°， 如图4，当点P在CD上且与AB距离最小时，MP⊥CD，α达到最小， 连接MP，作HO⊥MP于点H，由垂径定理，得出MH=3，在Rt△MOH中，MO=4 ∴sin∠MOH==， ∴∠MOH=49°， ∵α=2∠MOH， ∴α最小为98°， ∴α的取值范围为：98°≤α≤120°． 【点评】此题主要考查了切线的性质定理以及平行线之间的关系和解直角三角形等知识，根据切线的性质求解是初中阶段的重点题型，此题考查知识较多综合性较强，注意认真分析． 2．如图，在平行四边形ABCD中，AB=9，AD=13，tanA=，P是射线AD上一点，连接PB，沿PB将三角形APB折叠，得三角形A′PB． （1）当∠DPA′=10°时，∠APB=　85或95　度； （2）当PA′⊥BC时，求线段PA的长度； （3）当点A′落在平行四边形ABCD的边所在的直线上时，求线段PA的长度； （4）直接写出：在点P沿射线AD运动过程中，DA′的最小值是多少？ 【分析】（1）分两种情形求解即可； （2）作BH⊥AD于H，由tanA=，设AH=5x，BH=12x，可得AB==13x=9，求出x即可解决问题； （3）分三种情形分别求解即可； （4）如图6中，作DH⊥AB于H，连接BD．，求出BD，BA′，根据三角形的三边关系即可解决问题； 【解答】解：（1）当PA′在直线AD的右侧时，∠APB=∠A′PB=（180°﹣10°）=85°， 当PA′在直线AD的左侧时，∠APB=∠A′PB=（180°+10°）=95°， 如图4， 当点P在AD的延长线上时，由折叠知，∠APB=∠APB=∠DPA=5° 故答案为85或95或5； （2）如图1中， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∵PA′⊥BC， ∴PA′⊥AD， ∴∠APA′=90°， ∴∠APB=∠A′PB=45°，作BH⊥AD于H， ∵tanA=， ∴设AH=5x，BH=12x ∴AB==13x=9， ∴x=， ∴AH=，BH=， 在Rt△BHP中，∠BPH=45°， ∴BH=PH=， ∴AP=AH