向量组的线性相关和线性无关.doc

WORD格式整理 PAGE 专业知识分享 向量组的线性相关与线性无关 1.线性组合 设，，称为的一个线性组合。 【备注1】按分块矩阵的运算规则，。这样的表示是有好处的。 2.线性表示 设，，如果存在，使得 则称可由线性表示。 ，写成矩阵形式，即。因此，可由线性表示即线性方程组有解，而该方程组有解当且仅当。 3.向量组等价 设，如果中每一个向量都可以由 线性表示，则称向量组可以由向量组线性表示。 如果向量组和向量组可以相互线性表示，则称这两个向量组是等价的。 向量组等价的性质： (1) 自反性 任何一个向量组都与自身等价。 (2) 对称性 若向量组I与II等价，则向量组II也与I等价。 (3) 传递性 若向量组I与II等价，向量组II与III等价，则向量组I与III等价。 证明： 自反性与对称性直接从定义得出。至于传递性，简单计算即可得到。 设向量组I为，向量组II为，向量组III为。向量组II可由III线性表示，假设，。向量组I可由向量组II线性表示，假设，。因此， ， 因此，向量组I可由向量组III线性表示。 向量组II可由I线性表示，III可由II线性表示，按照上述办法再做一次，同样可得出，向量组III可由I线性表示。 因此，向量组I与III等价。结论成立！ 4.线性相关与线性无关 设，如果存在不全为零的数，使得 则称线性相关，否则，称线性无关。 按照线性表示的矩阵记法，线性相关即齐次线性方程组 有非零解，当且仅当。线性无关，即 只有零解，当且仅当。 特别的，若，则线性无关当且仅当，当且仅当可逆，当且仅当。 例1. 单独一个向量线性相关即，线性无关即。因为，若线性相关，则存在数，使得，于是。而若，由于，因此，线性相关。 例2. 两个向量线性相关即它们平行，即其对应分量成比例。因为，若线性相关，则存在不全为零的数，使得。不全为零，不妨假设，则，故平行，即对应分量成比例。如果平行，不妨假设存在，使得，则，于是线性相关。 例3.线性无关，且任意都可以由其线性表示，且表示方法唯一。事实上， 5.线性相关与无关的性质 (1) 若一向量组中含有零向量，则其必然线性相关。 证明： 设，其中有一个为零，不妨假设，则 因此，线性相关。 (2) 若一向量组线性相关，则增添任意多个向量所形成的新向量组仍然线性相关；若一向量组线性无关，则其任意部分向量组仍然线性无关。 证明： 设，线性相关。存在不全为零的数 ，使得 这样， 不全为零，因此，线性相关。 后一个结论是前一个结论的逆否命题，因此也正确。 (3) 若一个向量组线性无关，在其中每个向量相同位置之间增添元素，所得到的新向量组仍然线性无关。 证明： 设为一组线性无关的向量。不妨假设新的元素都增加在向量最后一个分量之后，成为，是同维的列向量。令 则。由向量组线性相关，可以得到 。结论得证！ (4) 向量组线性相关当且仅当其中有一个向量可以由其余向量线性表示。 证明： 设为一组向量。 必要性 若线性相关，则存在一组不全为零的数，使得 不全为零，设，则 充分性 若中某个向量可以表示成其余向量的线性组合，假设可以表示成的线性组合，则存在一组数，使得 也就是 但不全为零，因此，线性无关。 【备注2】请准确理解其意思，是其中某一个向量可以由其余向量线性表示，而不是全部向量都可以。 (5) 若线性无关，，使得线性相关，则可由线性表示，且表示方法唯一。 证明： 线性相关，因此，存在不全为零的数，使得 ，否则，则。由线性无关，我们就得到，这样，均为零，与其不全为零矛盾！这样， 因此，可由线性表示。 假设，则 由线性无关，有，即 因此，表示法唯一。 【备注3】 刚才的证明过程告诉我们，如果向量可由线性无关向量组线性表示，则表示法唯一。事实上，向量可由线性无关向量组线性表示，即线性方程组有解。而线性无关，即。因此，若有解，当然解唯一，即表示法唯一。 (6) 若线性无关向量组可由向量组线性表示，则。 证明： 假设结论不成立，于是。可由线性表示。假设 ， ， ………………………………………………………. ， 任取，则 由于为一个阶矩阵，而，因此，方程组 必有非零解，设为，于是。因此，存在一组不全为零的数，使得。因此，向量组线性相关，这与向量组线性无关矛盾！因此，。 (7) 若两线性无关向量组和可以相互线性表示，则。 证明： 由性质(6)，，，因此，。 【备注4】等价的线性无关向量组所含向量个数一样。 (8) 设，为阶可逆矩阵，则线性无关当且仅当 线性无关。可由线性表示，当且仅当可由 线性表示。若可以线性表示，表示