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百度Pascal 吧公开培训教材-Pascal 培训课程算法讲义-第十讲 第十讲 贪心算法 一、 贪心初步 贪心法是一种解决最优问题的策略。它是从问题的初始解出发， 按照当前最佳的选择，把问题归纳为更小的相似的子问题，并使子问 题最优，再由子问题来推导出全局最优解。 使用贪心方法需要注意局部最优与全局最优的关系，选择当前状 态的局部最优并不一定能推导出问题的全局最优。 【引例】在一个 N×M 的方格阵中，每一格子赋予一个数值，规定每 次移动时只能向上或向右。现试找出一条路径，使其从左下角至右上 角所经过的数字之和最大。 我们以2×3 的矩阵为例： 若按贪心策略求解，所得路径为：1→3→4→6； 若按动态规划求解，所得路径为：1→2→10→6 。 动态规划算法会在2.3.4 详细介绍。 二、 贪心策略的特点 1. 贪心选择性质：算法中每一步选择都是当前看似最佳的选择，这种 选择依赖于已做出的选择，但不依赖于未做的选择。 第 1 页 ，共 24 页 百度Pascal 吧公开培训教材-Pascal 培训课程算法讲义-第十讲 2.最优子结构性质：算法中每一次都取得了最优解(即局部最优解)， 要保证最后的结果最优，则必须满足全局最优解包含局部最优解。 但并不是所有具有最优子结构的问题都可以用贪心策略求解。因为贪 心往往是盲目的，需要使用更理性的方法——动态规划 （例如“0-1 背 包问题”与“部分背包问题” ）同时有些具有最优子结构的问题只能用 贪心而不能用动态规划解。 问题1：部分背包问题 给定一个最大载重量为M 的卡车和N 种食品，有食盐，白糖，大米 等。已知第i 种食品的最多拥有Wi 公斤，其商品价值为Vi 元/公斤， 编程确定一个装货方案，使得装入卡车中的所有物品总价值最大。 【分析】因为每一个物品都可以分割成单位块，单位块的利益越大， 显然总收益越大，所以它局部最优满足全局最优，可以用贪心法解答。 方法如下：先将单位块收益按从大到小进行排列，然后用循环从单位 块收益最大的取起，直到不能取为止便得到了最优解。 问题2：0/1 背包问题 给定一个最大载重量为 M 的卡车和N 种动物。已知第 i 种动物的重 量为Wi ，其最大价值为Vi ，设定M，Wi ，Vi 均为整数，编程确定一 个装货方案，使得装入卡车中的所有动物总价值最大。 【分析】按贪心法：每次选价格最大的装载。很明显有反例：设N=3, 卡车最大载重量是 100,三种动物 A 、B、C 的重量分别是40,50,70,其 第 2 页 ，共 24 页 百度Pascal 吧公开培训教材-Pascal 培训课程算法讲义-第十讲 对应的总价值分别是80、100、150。 三、 贪心策略与其他算法的区别 1.贪心与递推：与递推不同的是，贪心法中推进的每一步不是依据某 一固定的递推式，而是当前看似最佳的贪心决策，不断的将问题归纳 为更加小的相似的子问题。所以归纳、分析、选择正确合适的贪心策 略，是正确解决贪心问题的关键。 2.贪心与动态规划：与动态规划不同的是，贪心是鼠目寸光；动态规 划是统揽全局。 四、 贪心策略的证明 贪心策略能否适用，关键看在贪心的策略下，局部的最优解能否得到 全局最优解。要看是否得到最优解，就要看贪心选择特征的证明了。 常用的证明法有反证法和构造法。 1.反证法：顾名思义，对于当前的贪心策略，否定当前的选择，看看 第 3 页 ，共 24 页 百度Pascal 吧公开培训教材-Pascal 培训课程算法讲义-第十讲 是否能得到最优解，如果不能得到，说明当前贪心策略是正确的；否 则，当前策略不正确，不可用。 2.构造法：对于题目给出的问题，用贪心策略时，把问题构造成已知 的算法或数据结构，以此证明贪心策略是正确的。 五、经典贪心模型 1）最优装载问题：给n 个物体，第i 个物体重量为wi ，选择尽可能 量多的物体，使总重量不超过C 。 2 ）部分背包问题：有n 个物体，第i 个物体重量为wi ，价值为vi ， 在总重量不超过C 的情况下让总价值尽量高。 3 ）乘船问题：有n 个人，第i 个人重量为wi ，每艘船的载重量为C， 最多乘2 人