第7讲点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用.doc

WORD格式编辑整理 PAGE 专业资料分享 第7讲 点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用 定理 在椭圆（＞＞0）中，若直线与椭圆相交于M、N两点，点是弦MN的中点，弦MN所在的直线的斜率为，则. 证明：设M、N两点的坐标分别为、， 则有 ，得 又 同理可证，在椭圆（＞＞0）中，若直线与椭圆相交于M、N两点，点是弦MN的中点，弦MN所在的直线的斜率为，则. 典题妙解 例1 设椭圆方程为，过点的直线交椭圆于点A、B，O为坐标原点，点P满足，点N的坐标为.当绕点M旋转时，求： （1）动点P的轨迹方程； （2）的最大值和最小值. 解：（1）设动点P的坐标为.由平行四边形法则可知：点P是弦AB的中点 . 焦点在y上， 假设直线的斜率存在. 由得： 整理，得： 当直线的斜率不存在时，弦AB的中点P为坐标原点，也满足方程。 所求的轨迹方程为 （2）配方，得： 当时，；当时， 例2 在直角坐标系中，经过点且斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点P和Q. （1）求的取值范围； （2）设椭圆与轴正半轴、轴正半轴的交点分别为A、B，是否存在常数，使得向量与共线？如果存在，求的取值范围；如果不存在，请说明理由. 解：（1）直线的方程为 由得： 直线与椭圆有两个不同的交点， ＞0.解之得：＜或＞. 的取值范围是. （2）在椭圆中，焦点在轴上，， 设弦PQ的中点为，则 由平行四边形法则可知： 与共线，与共线. ，从而 由得：， 由（1）可知时，直线与椭圆没有两个公共点，不存在符合题意的常数. 例3已知椭圆（＞＞0）的左、右焦点分别为、，离心率，右准线方程为. (Ⅰ) 求椭圆的标准方程； (Ⅱ) 过点的直线与该椭圆相交于M、N两点，且，求直线的方程. 解：（Ⅰ）根据题意，得 .所求的椭圆方程为. （Ⅱ）椭圆的焦点为、. 设直线被椭圆所截的弦MN的中点为. 由平行四边形法则知：. 由得：.……………① 若直线的斜率不存在，则轴，这时点P与重合，，与题设相矛盾，故直线的斜率存在. 由得： ………② ②代入①，得 整理，得：.解之得：，或. 由②可知，不合题意.，从而. 所求的直线方程为，或. 例4 已知椭圆（＞＞0）的离心率为，过右焦点F的直线与C相交于A、B两点. 当的斜率为1时，坐标原点O到的距离为. （1）求的值； （2）C上是否存在点P，使得当绕F转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有点P的坐标与的方程；若不存在，说明理由. 解：（1）椭圆的右焦点为，直线的斜率为1时，则其方程为，即. 原点O到的距离：，. 又，. 从而.， . （2）椭圆的方程为. 设弦AB的中点为. 由可知，点Q是线段OP的中点，点P的坐标为..…………………① 若直线的斜率不存在，则轴，这时点Q与重合，，点P不在椭圆上，故直线的斜率存在. 由得：.………………………② 由①和②解得：. 当时，，点P的坐标为，直线的方程为； 当时，，点P的坐标为，直线的方程为. 金指点睛 1. 已知椭圆，则以为中点的弦的长度为（ ） A. B. C. D. 2.（06江西）椭圆（＞＞0）的右焦点为，过点F的一动直线m绕点F转动，并且交椭圆于A、B两点，P为线段AB的中点. （1）求点P的轨迹H的方程； （2）略. 3．（05上海）（1）求右焦点坐标是且过点的椭圆的标准方程； （2）已知椭圆C的方程为（＞＞0）.设斜率为的直线，交椭圆C于A、B两点，AB的中点为M. 证明：当直线平行移动时，动点M在一条过原点的定直线上； （3）略. 4. (05湖北)设A、B是椭圆上的两点，点是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于C、D两点. （1）确定的取值范围，并求直线AB的方程； （2）略. 5. 椭圆C的中心在原点，并以双曲线的焦点为焦点，以抛物线的准线为其中一条准线. （1）求椭圆C的方程； （2）设直线与椭圆C相交于A、B两点，使A、B两点关于直线 对称，求的值. 参考答案 1. 解：由得，. 弦MN的中点，由得，直线MN的方程为. 即. 由得：. 设，则. 故答案选C. 2. 解：（1）设点P的坐标为，由得：， 整理，得：. 点P的轨迹H的方程为. 3．解：（1）右焦点坐标是，左焦点坐标是. . 由椭圆的第一定义知，，. . 所求椭圆的标准方程为. （2）设点M的坐标为，由得：，整理得：. a、b、k为定值， 当直线平行移动时，动点M在一条过原点的定直线上. 4. 解：（1）点在椭圆内，＜，即＞12. 的取值范围是