利用洛必达法则来处理高考中的恒成立问题.doc

WORD格式编辑整理 PAGE 专业资料分享 导数结合洛必达法则巧解高考压轴题 法则1 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1) 及；(2)在点a的去心 HYPERLINK /view/348547.htm \t _blank 邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g(x)≠0； (3)，那么 =。  法则2 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1) 及； (2)，f(x) 和g(x)在与上可导，且g(x)≠0； (3)，那么 =。  法则3 若函数f(x) 和g(x)满足下列条件：(1) 及； (2)在点a的去心 HYPERLINK /view/348547.htm \t _blank 邻域内，f(x) 与g(x) 可导且g(x)≠0； (3)，那么 =。 利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： 1.将上面公式中的x→a，x→∞换成x→+∞，x→-∞，，洛必达法则也成立。 2.洛必达法则可处理，，，，，，型。 3.在着手求极限以前，首先要检查是否满足，，，，，，型定式，否则滥用洛必达法则会出错。当不满足三个前提条件时，就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。 4.若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。 二．高考题处理 1.(2010年全国新课标理)设函数。（1）若，求的单调区间；（2）若当时，求的取值范围 解:（II）当时，，对任意实数a,均在；当时，等价于令(x0),则，令，则，， 知在上为增函数，；知在上为增函数，；，g(x)在上为增函数。由洛必达法则知，，故综上，知a的取值范围为。 2．（2011年全国新课标理）已知函数，曲线在点处的切线方程为。（Ⅰ）求、的值；（Ⅱ）如果当，且时，，求的取值范围。 解：（II）由题设可得，当时，k恒成立。 令g (x)= (),则， 再令()，则，，易知在上为增函数，且；故当时，，当x（1，+）时，； 在上为减函数，在上为增函数；故=0 在上为增函数=0当时，，当x（1，+）时，当时，，当x（1，+）时， 在上为减函数，在上为增函数 洛必达法则知 ，即k的取值范围为（-，0] 3.已知函数f(x)=x－(1+a)lnx在x=1时，存在极值。（1）求实数a的值；（2）若x1，mlnx成立,求正实数m的取值范围 解：=g（x） =令h(x)= 令则，令M（x）=r(x)， 0,则，r(x)为减，且r(1)=0,则h（x）为减，且h(1)=0,则g(x)为减，这样，g(x)g(1),而g(1)不存在，对g(x)在x=1处用罗比达法则，，则m》1/2. 4.已知函数f(x)=,曲线y=f(x)在点(x,y)处的切线为y=g(x). 证明：对于，f(x)g(x); 当x0时，f(x) 1+,恒成立，求实数a的取值范围。 解：分离变量：a=h(x),去导数，=（x0），分子r(x)=,(x[0, )，扩展定义域]，求导0，可知，r(x)为定义域内增函数，而r（x）r(0)=0.所以》0.为增函数。则ah(0)不存在，罗比达法则可得为1 练习 2006年全国2理 设函数f(x)＝(x＋1)ln(x＋1)，若对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立，求实数a的取值范围． 2006全国1理 已知函数.（Ⅰ）设，讨论的单调性； （Ⅱ）若对任意恒有，求的取值范围. 2007全国1理 设函数．（Ⅰ）证明：的导数； （Ⅱ）若对所有都有，求的取值范围． 2008全国2理 设函数．（Ⅰ）求的单调区间； （Ⅱ）如果对任何，都有，求的取值范围． 解：（Ⅰ）． 当（）时，，即； 当（）时，，即． 因此在每一个区间（）是增函数，在每一个区间（）是减函数 解：（Ⅰ）略 （Ⅱ）应用洛必达法则和导数 若，则； 若，则等价于，即 则. 记， 而. 另一方面，当时，，因此 2008辽宁理 设函数. ⑴求的单调区间和极值; ⑵是否存在实数,使得关于的不等式的解集为?若存在,求的取值范围;若不存在,试说明理由. 7． 2010新课标理 设函数=.（Ⅰ）若，求的单调区间; （Ⅱ）若当x≥0时≥0，求a的取值范围. 8 .2010新课标文 已知函数. （Ⅰ）若在时有极值，求函数的解析式； （Ⅱ）当时，，求的取值范围. 解：（Ⅰ）略 （Ⅱ）应用洛必达法则和导数 当时，，即. ①当时，； ②当时，等价于，也即. 记，，则. 记，，则，因此在上单调递增，且，所以，从而在上单调递增. 由洛必达法则有 ，即当时， 所以，即有.综上所述，当，