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2018届高考数学大题狂练
数列 专题02 等差数列与等比数列的判断与证明(以及构造数列)
一、解答题
1.已知数列是等差数列,其首项为,且公差为,若.
()求证:数列是等比数列.
()设,求数列的前项和.
【答案】(1)见解析;(2)
∴,
∴,
∴,
又,
∴数列是首项为4,公比为4的等比数列.
()解:由(1)知,
∴
.
2.设数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,且对任意正整数n,点(an+1,Sn)在直线2x+y-2=0上.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)是否存在实数λ,使得数列为等差数列?若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1) (2)λ=2
求出λ=2,经检验λ=2时,此数列的通项公式是关于n的一次函数,故满足数列为等差数列,从而得出结论.
试题解析: (1)由题意,可得2an+1+Sn-2=0.①
当n≥2时,2an+Sn-1-2=0.②
①-②,得2an+1-2an+an=0,所以= (n≥2).
因为a1=1,2a2+a1=2,所以a2=.
所以{an}是首项为1,公比为的等比数列.
所以数列{an}的通项公式为an=.
(2)由(1)知,Sn==2-.
若为等差数列,则S1+λ+,S2+2λ+,S3+3λ+成等差数列,则2=S1++S3+,即2=1+++,
解得λ=2.又λ=2时,Sn+2n+=2n+2,
显然{2n+2}成等差数列,故存在实数λ=2,
使得数列{Sn+λn+}成等差数列.
3.已知数列的前项和(为正整数).
(1)求证:为等差数列;
(2)求数列的前项和公式.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】【试题分析】(I)利用,可求得,即证明了数列为等差数列.(II)由(I)求得的表达式,并利用错位相减求和法求其前项和.
所以是以为首项,为公差的等差数列
(方法二)当时,解得
,设,则,
当时,有
代入得
整理得
所以即是以为首项,为公差的等差数列
(2)由(1)得,
依题意①
上式两边同乘以,得②
①-②得,
所以
4.设为数列的前项和,已知,.
(1)证明:为等比数列;
(2)求.
【答案】(1)见解析;(2).
(1)证明:∵,,∴,
∴,∴,
则,
∴是首项为2,公比为2的等比数列.
(2)解:由(1)知,,则.
∴ .
5.已知数列的前项和为,满足 (),数列满足 (),且
(1)证明数列为等差数列,并求数列和的通项公式;
(2)若,求数列的前项和;
(3)若,数列的前项和为,对任意的,都有,求实数的取值范围.
【答案】(1), ;(2);(3)
代入可求。
试题解析:(1)由两边同除以,
得,
从而数列为首项,公差的等差数列,所以,
数列的通项公式为.
当时, ,所以.
当时, , ,
两式相减得,又,所以,
从而数列为首项,公比的等比数列,
从而数列的通项公式为.
(2)
=
(3)由(1)得,
,
所以,两式相减得
因为 ,从而数列为递增数列
所以当时, 取最小值,于是.
6.已知等差数列{an}中,公差d0,其前n项和为Sn,且满足:a2a3=45,a1+a4=14.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)通过公式bn=构造一个新的数列{bn}.若{bn}也是等差数列,求非零常数c;
(3)对于(2)中得到的数列{bn},求f(n)= (n∈N*)的最大值.
【答案】(1)an=4n-3.(2) .
【解析】试题分析:
,故可根据基本不等式求最值.
试题解析:
(1)∵数列{an}是等差数列.
∴a2+a3=a1+a4=14,
由,解得或.
∵公差d0,
∴a2=5,a3=9.
∴d=a3-a2=4,a1=a2-d=1.
∴.
(2)∵Sn=na1+n(n-1)d=n+2n(n-1)=2n2-n,
∴.
∵数列{bn}是等差数列,
∴2b2=b1+b3,
∴2·=+,
解得 (c=0舍去).
∴.
显然{bn}成等差数列,符合题意,
∴.
(3)由(2)可得
,当且仅当,即时等号成立.
∴f(n)的最大值为.
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