高考讲坛（2)极值点偏移问题的处理策略及探究.docVIP

范文范例 指导参考 学习资料整理 极值点偏移问题的处理策略及探究 所谓极值点偏移问题，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对称性。若函数在处取得极值，且函数与直线交于,两点，则的中点为，而往往.如下图所示. 极值点没有偏移 此类问题在近几年高考及各种模考，作为热点以压轴题的形式给出，很多学生对待此类问题经常是束手无策。而且此类问题变化多样，有些题型是不含参数的，而更多的题型又是含有参数的。不含参数的如何解决？含参数的又该如何解决，参数如何来处理？是否有更方便的方法来解决？其实，处理的手段有很多，方法也就有很多，我们先来看看此类问题的基本特征，再从几个典型问题来逐一探索！ 【问题特征】 【处理策略】 不含参数的问题. 例1.（2010天津理）已知函数 ，如果，且 ， 证明： 【解析】法一：，易得在上单调递增，在上单调递减，时，，，时，， 函 数在处取得极大值，且,如图所示. 由，不妨设，则必有， 构造函数， 则，所以在上单调递增，，也即对恒成立. 由，则， 所以，即，又因为，且在上单调递减， 所以，即证 法二：欲证，即证，由法一知，故，又因为在上单调递减，故只需证，又因为， 故也即证，构造函数，则等价于证明对恒成立. 由，则在上单调递增，所以，即已证明对恒成立，故原不等式亦成立. 法三：由，得，化简得…?， 不妨设，由法一知，.令，则，代入?式，得，反解出，则，故要证：，即证：，又因为，等价于证明：…?， 构造函数，则， 故在上单调递增，，从而也在上单调递增，，即证?式成立，也即原不等式成立. 法四：由法三中?式，两边同时取以为底的对数，得，也即，从而， 令，则欲证：，等价于证明：…?， 构造，则， 又令，则，由于对恒成立，故，在上单调递增，所以，从而，故在上单调递增，由洛比塔法则知：，即证，即证?式成立，也即原不等式成立. 【点评】以上四种方法均是为了实现将双变元的不等式转化为单变元不等式，方法一、二利用构造新的函数来达到消元的目的，方法三、四则是利用构造新的变元，将两个旧的变元都换成新变元来表示，从而达到消元的目的. 含参数的问题. 例2.已知函数有两个不同的零点，求证：. 【解析】思路1：函数的两个零点，等价于方程的两个实根，从而这一问题与例1完全等价，例1的四种方法全都可以用； 思路2：也可以利用参数这个媒介去构造出新的函数.解答如下： 因为函数有两个零点， 所以， 由得：， 要证明，只要证明， 由得：，即， 即证：， 不妨设，记，则， 因此只要证明：， 再次换元令，即证 构造新函数， 求导，得在递增， 所以，因此原不等式获证. 【点评】含参数的极值点偏移问题，在原有的两个变元的基础上，又多了一个参数，故思路很自然的就会想到：想尽一切办法消去参数，从而转化成不含参数的问题去解决；或者以参数为媒介，构造出一个变元的新的函数。 例3.已知函数，为常数，若函数有两个零点， 试证明： 【解析】法一：消参转化成无参数问题： ，是方程的两根，也是方 程的两根，则是，设，，则，从而，此问题等价转化成为例1，下略. 法二：利用参数作为媒介，换元后构造新函数： 不妨设， ∵，∴， ∴，欲证明，即证. ∵，∴即证， ∴原命题等价于证明，即证：，令，构造，此问题等价转化成为例2中思路二的解答，下略. 法三：直接换元构造新函数： 设， 则， 反解出：， 故，转化成法二，下同，略. 例4.设函数，其图像与轴交于两点，且.证明：. 【解析】由，易知：的取值范围为，在上单调递减，在上单调递增. 法一：利用通法构造新函数，略； 法二：将旧变元转换成新变元： ∵两式相减得：， 记，则， 设，则，所以在上单调递减，故,而，所以， 又∵是上的递增函数，且，∴. 容易想到，但却是错解的过程： 欲证：，即要证：，亦要证，也即证：，很自然会想到：对两式相乘得：，即证：.考虑用基本不等式，也即只要证：.由于.当取将得到，从而.而二元一次不等式对任意不恒成立，故此法错误. 【迷惑】此题为什么两式相减能奏效，而变式相乘却失败？两式相减的思想基础是什么？其他题是否也可以效仿这两式相减的思路? 【解决】此题及很多类似的问题，都有着深刻的高等数学背景. 拉格朗日中值定理：若函数满足如下条件： 函数在闭区间上连续； 函数在开区间内可导，则在内至少存在一点，使得. 当时，即得到罗尔中值定理. 上述问题即对应于罗