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极限思想在小学数学教材中的渗透 教育科学学院 小学教育专业 100401056 赵倩 指导教师 苏明强 副教授 【摘 要】数学教学既要教授知识技能，也要重视学生对数学思想的感悟。极限思想作为小学数学常见的数学思想之一，蕴含在小学数学的诸多知识领域中。本文将立足于小学这一教育阶段，以北师大版小学数学教材为例，针对“极限思想”在教材中的渗透进行初步探索，挖掘教材中所蕴含的极限思想，为教师进行教材分析，设计教学方案提供参考。 【关键词】极限思想；小学数学；教材；北师大版 在《义务教育数学课程标准（2011年版）》课程目标中的“总目标”明确指出：“通过义务教育阶段的数学学习，学生能获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。”[1]其中新增的“基本思想”则对应三维目标中的“过程与方法”，注重在学生学习数学知识的过程中体会数学思想。从这一变化上可以看出，课程标准重视在数学教学中渗透数学的基本思想，重视数学思想对学生思维发展的作用。 极限思想是一种重要的数学思想，在小学数学教材中十分常见。所谓极限思想是用联系变动的观点，把所考察的对象看作是某个对象在无限变化过程中变化结果的思想。它体现了“从有限中找到无限，从暂时中找到永久，并且使之确定起来”的一种运动辩证思想。[2] 极限思想蕴含在小学数学诸多知识领域中。基于此，本文将立足于小学这一特定的教育阶段，针对“极限思想”在小学数学教材中的渗透进行初步探索，挖掘不同教学内容中所蕴含的极限思想，为教师的教学设计提供参考。 一、极限思想在数与代数中的渗透 （一）数的认识中的蕴含的极限思想 表1-1：北师大版小学数学“数的认识”教学内容中蕴含极限思想统计表 册别 教学内容 页码 教材片段 蕴含的极限思想 三年级（下册）[3] 小数的认识 2 小数的个数有无数个 比较小数的大小 4 小数有无限多个与其等值的小数 分数的初步认识 54 有无数个分数 四年级（上册）[4] 认识更大的数 4 数可以越来越大，没有尽头 正负数 89 正数、负数的个数有无数个 四年级（下册）[5] 小数的意义 5 数位顺序表中，整数部分和小数部分的数位以小数点为分界线向左右两端无限增加 认识循环小数 69 小数部分的位数有无数个 五年级（上册）[6] 自然数、整数、倍数 2 有无限多个自然数、整数，一个数的倍数有无数个 五年级（上册） 2、5、3的倍数的特征 4 2、5、3的倍数是无限的 奇数和偶数 5 有无数个奇、偶数 真分数、假分数、带分数 38 有无限多个假分数、带分数、真分数 公倍数 51 两个、两个以上的数的公倍数的个数有无数个 分数与小数相互转化 71 分数有无数个与其等值的分数；因此一个小数可以转化成无数个分数；一个分数也可以转化成无数个小数 五年级（下册）[7] 百分数的认识 64 百分数有无限多个 《数学》三年级下册P2。教材以学生最为熟知的买文具的生活情境进行导入，以呈现商品价格来引出小数。“像3.50,1.06,16.85……这样的数，都是小数。”通过用省略号来表示余下的小数，由此可以知道，小数的个数有无数个。小数可以越来越大，也可以越来越小，小数是数不完的。在教学中可以从“数量”上突出“无限多”，渗透极限的数学思想。 《数学》三年级下册P4。小数有无限多个与其等值的小数。例如：与0.5相同的小数有无限多个。因此，在比较两个小数的大小时，可以转化成与原小数等值的小数进行比较。 《数学》三年级下册P54。分数的个数是无限多的。教材以分苹果，分割圆片为例，引出分数的表示方法。把一张纸等分为四份，其中一份用表示，其中的两份用表示……随着份数的逐渐增加，则可用于表示的分数也增加。如果将物体一直分下去，那么这是一个“无限”的过程。在这个无限“分”的过程中产生的分数越来越多，直至无限多个。因此，分数的个数是无限多的。分数可以无穷大，也可以无穷小。这里蕴含着极限的数学思想，教学时可以适时让学生体会分数的个数有无数个。 《数学》四年级上册P4。数可以越来越大，没有尽头。教材以数位表的形式展示数的无限多。数级从个级开始，往左逐次增大，没有尽头；数位从个位开始，往左依次增大，没有尽头；计数单位从个位开始，同样往左依次增大，没有尽头。无论是数级、数位还是计数单位，它们都是依次增大，没有尽头，数可以无限大、是无限多的。 《数学》四年级上册P89。正数与负数有无数个，是数不完的。教材使用了学生所熟知的温度计引出正数和负数。温度计上的刻度可抽象成数轴的一部分。正数、负数与0都在这条数轴上。正数与负数是一组相对发展的数，它们以“0”这个特殊的数字为分界点，沿着数轴正向与反向变化。正数沿数轴正方向无限增大，负数沿数轴反方向是无限减小。因此，正数与负数有无数个，是数不完的。不存在最大的正