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第五章 相似矩阵及二次型
1. 试用施密特法把下列向量组正交化:
(1);
解 根据施密特正交化方法?
,
,
?
(2)?
解 根据施密特正交化方法?
?
?
?
2. 下列矩阵是不是正交阵:
(1);
解 此矩阵的第一个行向量非单位向量, 故不是正交阵.
(2).
解 该方阵每一个行向量均是单位向量, 且两两正交, 故为正交阵.
3? 设x为n维列向量? xTx?1? 令H?E?2xxT? 证明H是对称的正交阵?
证明 因为
HT?(E?2xxT)T?E?2(xxT)T?E?2(xxT)T
?E?2(xT)TxT?E?2xxT?
所以H是对称矩阵?
因为
HTH?HH?(E?2xxT)(E?2xxT)
?E?2xxT?2xxT?(2xxT)(2xxT)
?E?4xxT?4x(xTx)xT
?E?4xxT?4xxT
?E?
所以H是正交矩阵?
4. 设A与B都是n阶正交阵, 证明AB也是正交阵.
证明 因为A? B是n阶正交阵, 故A?1?AT? B?1?BT?
(AB)T(AB)?BTATAB?B?1A?1AB?E
故AB也是正交阵.
5. 求下列矩阵的特征值和特征向量:
(1);
解 ?
故A的特征值为???1(三重).
对于特征值???1? 由
?
得方程(A?E)x?0的基础解系p1?(1? 1? ?1)T? 向量p1就是对应于特征值???1的特征值向量.
(2);
解 ?
故A的特征值为?1?0? ?2??1? ?3?9.
对于特征值?1?0, 由
?
得方程Ax?0的基础解系p1?(?1? ?1? 1)T? 向量p1是对应于特征值?1?0的特征值向量.
对于特征值?2??1, 由
?
得方程(A?E)x?0的基础解系p2?(?1? 1? 0)T? 向量p2就是对应于特征值?2??1的特征值向量?
对于特征值?3?9, 由
?
得方程(A?9E)x?0的基础解系p3?(1/2? 1/2? 1)T? 向量p3就是对应于特征值?3?9的特征值向量.
(3).
解 ?
故A的特征值为?1??2??1? ?3??4?1.
对于特征值?1??2??1, 由
?
得方程(A?E)x?0的基础解系p1?(1? 0? 0? ?1)T? p2?(0? 1? ?1? 0)T? 向量p1和p2是对应于特征值?1??2??1的线性无关特征值向量.
对于特征值?3??4?1, 由
?
得方程(A?E)x?0的基础解系p3?(1? 0? 0? 1)T? p4?(0? 1? 1? 0)T? 向量p3和p4是对应于特征值?3??4?1的线性无关特征值向量.
6? 设A为n阶矩阵? 证明AT与A的特征值相同?
证明 因为
|AT??E|?|(A??E)T|?|A??E|T?|A??E|?
所以AT与A的特征多项式相同? 从而AT与A的特征值相同?
7? 设n阶矩阵A、B满足R(A)?R(B)?n? 证明A与B有公共的特征值? 有公共的特征向量?
证明 设R(A)?r? R(B)?t? 则r?t?n?
若a1? a2? ???? an?r是齐次方程组Ax?0的基础解系? 显然它们是A的对应于特征值??0的线性无关的特征向量
类似地? 设b1? b2? ???? bn?t是齐次方程组Bx?0的基础解系? 则它们是B的对应于特征值??0的线性无关的特征向量?
由于(n?r)?(n?t)?n?(n?r?t)?n? 故a1? a2? ???? an?r? b1? b2? ???? bn?t必线性相关? 于是有不全为0的数k1? k2? ???? kn?r? l1? l2? ???? ln
k1a1?k2a2? ??? ?kn?ran?r?l1b1?l2b2? ??? ?ln?rbn?r
记 ??k1a1?k2a2? ??? ?kn?ran?r??(l1b1?l2b2? ??? ?ln?rbn?
则k1? k2? ???? kn?r不全为0? 否则l1? l2? ???? ln?t
l1b1?l2
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