高等数学微积分第章第7节无穷小量与无穷大量.pptVIP

第七节 无穷小量与无穷大量 一.无穷小量 1.定义 如果在某变化过程中, 变量 的 极限为零, 则称 为无穷小量. 注 (1)七种变化过程、数列及一般函数 都成立. (2)谈无穷小量时指明自变量变化过程. (3)区分无穷小量与一个非常小的数. (4) 是无穷小量. (5)精确性定义. 2.性质 必要性 因 所以 故 为无穷小量 记为 则 充分性 由 得 定理2.17 证 此性质是把极限和无穷小量 联系起来的一个性质, 如有涉及 极限与无穷小量的题型， 想到这个性质. 郑重声明 应首先 有限个无穷小量的和、差、积 注 (1)本性质只对有限个无穷小量成立. 补充 无穷小量与极限不为零的变量的商 (2)本性质无穷小量的商不成立. 定理2.18 仍为无穷小量. 仍为无穷小量. 无穷小量与有界变量的乘积 设 则对 恒成立 此时 定理2.19 仍为无穷小量. 证 无穷小量与有界变量的乘积仍为 无穷小量. 设 所以 从而 故 即 为无穷小量. 推论 常数与无穷小量的乘积为无穷小量. 定理2.19 证 例1 求 解 因为 所以 注 二.无穷小量的比较 定义 设在某一过程中, 都是无穷小量 (1) 如果 称 高阶的无穷小量. 记作: (2) 如果 称 是同阶无穷小量. 特别地, 当 时, 称 是等价无穷小量. 记作: (3) 低阶的无穷小量． 如果 称 如果 则称 (4) 阶无穷小量. 的 注：并非任意两个无穷小量都可进行比较 例 时 与 都是无穷小量. 但 不存在 故二者不可进行比较 注 (1)首先是无穷小量. (2)比值极限存在(或∞). (3)常见的等价无穷小: 时 (4) 在求极限的过程中,等价无穷小量 可互相代换. 设 则 证 注 本性质只适合乘除,对加减失效. 例2 求 解 原式 原式 例3 已知 时, 是等价无穷小, 求常数 解 由题设有 又 故 (05年考研真题4分) 极限 解 (04年考研真题4分) 若 则 解 因 故 从而 三.无穷大量 定义 如果在某变化过程中, 变量 的绝对值 无限增大 则称在该 变量 变化过程中 为无穷大量. 注 (1)七种变化过程、数列及一般函数 都成立. (2)谈无穷大量时指明自变量变化过程. (3)区分无穷大量与一个非常大的数. (4)精确性定义. 定义 如果在某变化过程中, 变量 无限 则称在该 变化过程中变量 为正无穷大量. 增大 定义 如果在某变化过程中, 变量 则称在该变化过程中变量 无穷大量. 且绝对值无限增大 取负值 为负 复习基本初等函数,找出特殊无穷大量、 注 正无穷大量、负无穷大量. 定义 设在某一过程中, 都是无穷大量 (1) 如果 称 低阶的无穷大量. (2) 如果 称 是同阶无穷大量. 特别地, 当 时, 称 是等价无穷大量. (3) 高阶的无穷大量． 如果 称 四.无穷大量的比较 五.无穷小量与无穷大量的关系 (1) 如果变量 是无穷大量, 则 是无穷小量. (2) 如果变量 是无穷小量, 则 是无穷大量. 并且 证 因 ,由无穷大量定义 对 ,从而 成立, 成立 则 本节重点: 无穷小量的定义、性质、比较． 作业题 2.习题二 (A) 21、22、23、24、25、 1.熟记无穷小量的定义及性质. 26、27、28.