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PAGE PAGE 91 第一章 函数与极限 1.1 本章的教学目的 1．熟练掌握函数的定义、表示法．掌握函数的四大性质：单调性、奇偶性、周期性和有界性； 2．熟练掌握复合函数的定义，能正确地分析复合函数的复合过程； 3．熟练掌握基本初等函数的种类及其性质特征； 4．理解初等函数的定义，能建立简单实际问题中变量的函数关系． 5．了解数列极限的概念，掌握函数极限的概念，会求函数极限； 6．掌握无穷小、无穷大的定义及性质，能进行无穷小的比较并能熟练掌握等价无穷小替换求函数极限． 7．掌握函数连续的概念，认识连续函数的性质； 8．会求函数的间断点以及能够判断函数间断点的类型． 1.2 主要内容 1.2.1 函数的概念 1．函数的定义 函数是高等数学研究的基本对象，其中函数的定义域和对应法则是函数的两个要素，只有定义域和对应法则确定了，函数才能完全确定． （1）函数的定义域是函数概念的重要因素，是由使式子有意义的自变量的取值范围确定，而在实际问题中，函数的定义域根据问题的实际意义确定． （2）两个函数只有定义域和对应法则都相同时才能说是同一函数． 2．函数的简单性质 函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性是函数的主要特征，它们不仅可以直观表现函数的形态，而且也是进一步研究函数所不可缺少的工具． （1）函数奇偶性的讨论是就定义域为对称区间而言的，离开这个条件无从谈函数的奇偶性．特别地，函数 SKIPIF 1 0 既是奇函数又是偶函数． SKIPIF 1 0 是一个奇函数． （2）由函数的有界性我们有 SKIPIF 1 0 ，从图像上来看，有界函数的图像完全落在以直线 SKIPIF 1 0 及 SKIPIF 1 0 为边的带形区域内． 3. 初等函数 （1）在高等数学和工程技术中的研究中最常见的函数是初等函数，初等函数是由基本初等函数和常数经过有限次四则运算或有限次复合并能够用一个式子表示的函数，初等函数的定义虽未包含乘方和开方运算，但通过幂函数的复合，也可以包含这两种运算．因此基本初等函数显得尤其重要，特别是由图形来牢固记忆它们的定义域和性质是我们学习这部分的关键． （2）复合函数的学习关键是要把一个复杂的函数在引入中间变量后分成几个简单函数，复合函数的分解步骤是由运算的最外层起逐层往里分解，并要求分解到不能再分解，其分解的结果是基本初等函数或基本初等函数与常数的四则运算． 1.2.2 函数的极限 极限是微积分最重要的基本概念之一．微积分的许多概念都是用极限表述的，一些重要的性质和运算法则也是通过极限方法推导出来的． 1.极限思想与极限的定义 极限的概念反映了函数在自变量某一变化过程中，因变量的某种一致的变化趋势，极限是高等数学的基本概念，极限方法是高等数学研究问题的根本方法，也是研究微积分的重要工具．极限的定义本教材采用的是描述性定义，没有采用分析定义（ SKIPIF 1 0 定义）；特别，数列即整序变量，又称整标函数，所以数列极限可看做函数极限的特殊情况． 2.极限运算 （1）极限的四则运算法则 必须注意法则运用的前提条件，即 SKIPIF 1 0 和 SKIPIF 1 0 ，只要有一个不存在都不能使用，否则会出现错误， 如 SKIPIF 1 0 SKIPIF 1 0 ，错在 SKIPIF 1 0 时，上式两项极限均为无穷大，极限不存在，所以不能用差的运算． （2）求极限的方法 求极限的题型比较灵活，方法较多，现将常用的方法归纳如下： ①利用极限的四则运算法则求解； ②利用分子、分母的有理化求解； ③利用有界函数与无穷小的乘积为无穷小的结论求解； ④利用三角恒等变化求解； ⑤利用两个重要极限求解； ⑥利用等价无穷小替代法求解； ⑦利用函数连续性求解． 1.2.3 无穷小量 1.无穷小的定义 （1）无穷小即是极限为 SKIPIF 1 0 的函数，一个函数是否为无穷小是与自变量的变化趋势相联系的，即说一个函数是无穷小，必须指出自变量的变化趋势；不要把无穷小与很小的数相混淆，如 SKIPIF 1 0 虽然是很小的数，但其极限还是它本身，并不是零，在常数中，可做为无穷小的唯一一个数就只有零． （2）在利用无穷小的性质进行计算时，务必注意“有限个”这个条件，否则会出现计算错误． （3）无穷小与函数极限之间有如下重要关系： SKIPIF 1 0 的充要条件是 SKIPIF 1 0 ，其中 SKIPIF 1 0 为当 SKIPIF 1 0 时的无穷小量，即 SKIPIF 1 0 与 SKIPIF 1 0