高等数学第章第四部分.ppt

第四节 一、点的轨迹，方程的概念 二、平面的点法式方程 平面及其方程 三、平面的一般方程 四、 两平面的夹角 求到两定点A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距离的点的 化简得 即 说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面. 引例: 显然在此平面上的点的坐标都满足此方程, 不在此平面上的点的坐标不满足此方程. 解:设轨迹上的动点为 轨迹方程 一、点的轨迹，方程的概念 水桶的表面、台灯的罩子面等． 曲面的实例： 曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹． 曲面方程的定义： 两个基本问题 : (1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时, 求曲面方程. (2) 已知方程时 , 研究它所表示的几何形状 空间曲线C可看作空间两曲面的交线. 空间曲线的一般方程 特点：曲线上的点都满足方程， 满足方程的点都在曲线上， 不在曲线上的点不能同时满足两个方程. 例如,方程组 表示圆柱面与平面的交线 C. C 如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该 二、平面的点法式方程 法线向量的特征： 垂直于平面内的任一向量． 平面的法线向量． ① 设一平面通过已知点 且垂直于非零 称①式为平面?的点法式方程, 求该平面?的方程. 法向量. 向量 则有 故 平面的点法式方程 法向量 已知点 平面上的点都满足方程,不在平面上的点都不满足方程, 方程称为平面的方程,平面称为方程的图形 解 所求平面方程为 化简得 例2.求过三点 即 解: 取该平面? 的法向量为 的平面 ? 的方程. 利用点法式得平面 ? 的方程 取法向量 化简得 所求平面方程为 解 由点法式方程 平面的一般方程 法向量 三、平面的一般方程 任一三元一次方程的图形总是一个平面。 平面通过 轴； 特殊情形 ? 当 D = 0 时, A x + B y + C z = 0 表示 通过原点的平面; ? 当 A = 0 时, B y + C z + D = 0 的法向量 平面平行于 x 轴; ? A x+C z+D = 0 表示 平行于 y 轴的平面; ? A x+B y+D = 0 表示 平行于 z 轴的平面; A = 0 ,D = 0时, B y + C z = 0 ? C z + D = 0 表示 ? A x + D =0 表示 ? B y + D =0 表示 平行于 xoy 面 的平面; 平行于 yoz 面 的平面； 平行于 zox 面 的平面. 例3. 求通过 x 轴和点( 4, – 3, – 1) 的平面方程. 解: 因平面通过 x 轴 , 从而平面过原点，且 设所求平面方程为 代入已知点 得 化简,得所求平面方程 法向量垂直于x轴， 所以，平面方程为 设平面为 将三点坐标代入得 解 例 4 设平面与 z y x , , 三轴分别交于 ) 0 , 0 , ( a P 、 ) 0 , , 0 ( b Q 、 ) , 0 , 0 ( c R （其中 0 1 a ， 0 1 b ， 0 1 c ）， 求此平面方程 . 将 代入所设方程得 平面的截距式方程 ) 0 , 0 , ( a P 、 ) 0 , , 0 ( b Q 、 ) , 0 , 0 ( c R . 三、两平面的夹角 设平面∏1的法向量为 平面∏2的法向量为 则两平面夹角? 的余弦为 两平面法向量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角. 按照两向量夹角余弦公式有 特别有下列结论： 例5. 求两平面 解: 的夹角. 例6. 一平面通过两点 垂直于平面∏: x + y + z = 0, 求其方程 . 解: 设所求平面的法向量为 即 的法向量 和 故 方程为 且 所求平面过 点，所以所求平面 为所求平面上的向量 因此有 约去C , 得 即 外一点,求 例7. 设 解:设平面法向量为 在平面上取一点 是平面 到平面的距离d . ,则P0 到平面的距离为 (点到平面的距离公式) 到平面 的距离 点 内容小结 1.平面基本方程: 一般式 点法式 截距式 2.平面与平面之间的关系 平面 平面 垂直: 平行: 夹角公式: 点到平面距离公式 备用题 求过点 且垂直于二平面 和 的平面方程. 解: 已知二平面的法向量为 取所求平面的法向量 则所求平面方程为 化简得