电磁场电磁波习题答案3杨儒贵.doc

PAGE PAGE 1 第三章 3-1 已知在直角坐标系中四个点电荷分布如习题图3-1所示，试求电位为零的平面。 -q3cmYX+q -q 3cm Y X +q +q -q 1cm 习题图3-1 ，令，，，，那么，图中4个点电荷共同产生的电位应为 令，得 由4个点电荷的分布位置可见，对于x=1.5cm的平面上任一点，，因此合成电位为零。同理，对于x=0.5cm的平面上任一点，，因此合成电位也为零。所以，x=1.5cm及x=0.5cm两个平面的电位为零。 xqP(r, z x q P(r, z) h h -q z 习题图3-2 证明 建立圆柱坐标，令导体表面位于xy平面，点电荷距离导体表面的高度为，如图3-2所示。那么，根据镜像法，上半空间的电场强度为 电通密度为 式中 ； 那么， 已知导体表面上电荷的面密度，所以导体表面的感应电荷为 则总的感应电荷为 3-3 根据镜像法，说明为什么只有当劈形导体的夹角为?的整数分之一时，镜像法才是有效的？当点电荷位于两块无限大平行导体板之间时，是否也可采用镜像法求解。 答 根据镜像法，如果劈形导体的夹角不为的整数分之一时，则镜像电荷不能最终和原电荷重合，这样将会产生无限多个镜像电荷，每个镜像电荷都会产生一定的电位，导致合成电位无限大，因而无解。 当点电荷位于两块无限大导体板之间时，可采用镜像法求解。此时虽然也会产生无限多个镜像电荷，但是远处的镜像电荷对于两板之间的场点贡献越来越小，因 此可以获得一个有限的解。 ?r?lh导体习题图3-4x y3-4 一根无限长的线电荷平行放置在一块无限大的导体平面附近，如习题图3-4所示。已知线电荷密度，离开平面的高度m，空间媒质的相对介电常数。试求：① 空间任一点场强及能量密度； ?r ?l h 导体 习题图3-4 x y 解 ①建立圆柱坐标，令导体表面位于xz平面，导体上方场强应与变量z无关。根据镜像法，上半空间中任一点的场强为 电场能量密度为 已知导体表面的电荷面密度，那么 单位长度内线电荷受到的电场力可等效为其镜像线电荷对它的作用力，即 可见，线电荷受到的是吸引力。所以，当线电荷的高度增加一倍时，外力必须做的功为 （J）。 3-5 在无限大的导体平面上空平行放置一根半径为a的圆柱导线。已知圆柱导线的轴线离开平面的距离为h，试求单位长度圆柱导线与导体平面之间的电容。 解 根据镜像法可知，无限大的导体平面与无限长圆柱导线之间的场分布与两根无限长平行圆柱导线之间的一半空间的场分布完全相同。因此，圆柱导线与导体平面之间的单位长度内的电容是两根平行圆柱导线的单位长度内的电容一倍。由教材3-3节获知两根平行圆柱导线的单位长度内的电容为 式中D为两根圆柱导线轴线之间的距离，a为圆柱导线的半径。因此，对于本题的圆柱导线与导体平面之间的单位长度内的电容为 若高度ha，上式还可进一步简化为 60?h 60? h ?l h 习题图3-6(a) 在夹角60?的导电劈的中央部位， 离开两壁的距离为h，如习题图3-6(a) 所示。若线电荷的线密度为，试 求其电位分布函数。 ? ?l 60? ?l -?l ?l -?l -?l P r0 r1 r2 r3 r4 r5 习题图3-6(b) r x y o 解 根据镜像法，正如原书3-3节所述，需要引入5个镜像电荷，，，，和，它们离场点P的距离分别为r1，r2，r3，r4，和r5，其位置如习题图3-6(b)所示。 已知，无限长的线电荷产生的电场强度为 可见，空间某点r对于任一参考点r0的电位为 对于本题，若取坐标原点作为电位参考点，因为原线电荷离坐标原点的距离为2h，离场点P的距离为r0，那么该线电荷在P点产生的电位为 因为全部镜像电荷离坐标原点的距离均为2h，那么，劈间任一点P以坐标原点作为电位参考点的电位为 即 dd/3q习题图 d d/3 q 习题图3-7 无限大的接地的平行导体板之 间，如习题图3-7所示。两板 间距为d，点电荷位于处， 试求两板间的电位分布。 解 选用圆柱坐标系，令下底板位于z=0平面，点电荷q位于轴，则导体板之间任一点电位与角度?无关。 根据镜像法，必须在轴上引入无限多个镜像电荷， zq z q -q -q q q r x 正轴上：，， ，．．． 负轴上：，， ，．．． 则两板之间任一点的电位为： 3-8 试证位于无限大导体平面上半球形导体上空的点电荷q受到的力的大小为 式中a为球半径，d为电荷与球心的间距，为真空介电常数，如习题图3-8(a)所示。 qq q q″ q′ ?0 d d -q d′ d″ ?0 习题图3-8(b) q ? 0 a d 习题图3-8(a) 证明 应用镜像法，将半球变为一个整球。那么，为了保证无限大导体平面和球面形成的边界电位为零，必须引入三