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对于不同曲线其弯曲程度一般不同例如
* Yunnan University §4. 平面曲线的曲率 对于不同的曲线, 其弯曲程度一般不同. 例如: A B A B 一、曲率的定义 A A B B · · o 曲线的弯曲程度与其 切线方向变化的夹角 的大小及其弧长 有关. 结论: y x o A 将 B 任意弧段 AB = = R , 有 称为曲线段 AB 的平均曲率,它刻画了一段曲线的平均弯曲程度. O A B R 对于半径为R的圆, 对于直线, 其切线方向不变, 即 , 有 同一条曲线的不同点处, 曲线弯曲的程度可能不同. Def : 曲线在 A 点的曲率为 其中 为点A及其邻点B之间弧长, 为AB上切线 方向变化的角度. 曲率刻画了曲线在一点的弯曲程度. x y o x A 如图,设曲线的弧长 s 由点 A 起算. 任取 MN = ,有 由此 当 充分小时,在一些假定之下( 如曲线有连续导数 ), 二、弧长的微分 从而即得 弧长微分的公式 或 ⑴ ⑵ ⑶ 关于 的具体表示式: 三、曲率的计算 先计算 , 考虑曲线 在 M 点的切线, 有 两边求微分,得 四、曲率半径与曲率圆 对半径为 R 的圆, Def : 曲线上一点的曲率的倒数称为曲线在该点的 曲率半径,记作 几何意义: 如图,在A点作曲线的法线,并在曲线凹的一侧的法线上取 一点O,使得 OA= (曲线在A点的曲率半径). 以O为圆心, 为半径作一个圆,称之为曲线在A点的曲率圆. · A o 曲率中心 曲率圆与曲线在A点具有以下关系: ⑴ 有共同的切线,即圆与曲线在点 A 相切; ⑵ 有相同的曲率; ⑶ 圆和曲线在点 A 具有相同的一阶和二阶导数. 表明:讨论 y = f (x) 在某点 x 的性质时,若此性质仅 与 x , y , 有关,则只要讨论曲线在 x 点的曲率圆 的性质,即可知这曲线在 x 点附近的性质. 例1. 求抛物线 上任一点处的曲率和曲率半径. 解: x y O A 法线: x = 0 . 切线:y = 0 , 求 的最小曲率半径时的曲率圆的方程. 例2. 铁道的弯道分析 * Yunnan University §4. 平面曲线的曲率
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