课件第3分图像变换.ppt

* * * 第3章 图像变换 3.1 二维离散傅里叶变换（DFT） 3.1.1 二维连续傅里叶变换 二维连续函数 f (x, y)的傅里叶变换定义如下： 设 是独立变量 的函数，且在 上绝对可积，则定义积分 为二维连续函数 的付里叶变换，并定义 为 的反变换。 和 为傅里叶变换对。 （3.1） （3.2） 【例3.1】求图3.1所示函数 的傅里叶变换。 解：将函数代入到(3.1)式中，得 其幅度谱为 二维信号的图形表示 图3.1 二维信号f (x, y) （a）信号的频谱图 （b）图（a）的灰度图 图3.2 信号的频谱图 二维信号的频谱图 3.1.2 二维离散傅里叶变换 尺寸为M×N的离散图像函数的DFT 反变换可以通过对F(u,v) 求IDFT获得 （3.3） （3.4） DFT变换进行图像处理时有如下特点： （1）直流成分为F(0,0)。 （2）幅度谱|F(u,v)|对称于原点。 （3）图像f (x, y)平移后，幅度谱不发生变化，仅有相位发生了变化。 （3.5） （3.6） 3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质 1．周期性和共轭对称性 周期性和共轭对称性来了许多方便。 我们首先来看一维的情况。 设有一矩形函数为,求出它的傅里叶变换： 幅度谱： （a）幅度谱 （b）原点平移后的幅度谱 图3.4 频谱图 DFT取的区间是[0,N-1]，在这个区间内频谱是由两个背靠背的半周期组成的 ，要显示一个完整的周期，必须将变换的原点移至u=N/2点。 根据定义，有 在进行DFT之前用(-1)x 乘以输入的信号 f (x) ，可以在一个周期的变换中（u＝0，1，2，…，N－1），求得一个完整的频谱。 （3.7） 推广到二维情况。在进行傅里叶变换之前用(-1)x+y 乘以输入的图像函数，则有： DFT的原点，即F(0,0)被设置在u=M/2和v=N/2上。 (0,0)点的变换值为： 即 f (x,y) 的平均值。 如果是一幅图像，在原点的傅里叶变换F(0,0)等于图像的平均灰度级，也称作频率谱的直流成分。 （3.8） （3.9） （a）原始图像 (b) 中心化前的频谱图 (c) 中心化后的频谱图 图3.5 图像频谱的中心化 2．可分性 离散傅里叶变换可以用可分离的形式表示 这里 对于每个x值，当v＝0，1，2，…，N－1时，该等式是完整的一维傅里叶变换。 （3.10） （3.11） 二维变换可以通过两次一维变换来实现。 同样可以通过先求列变换再求行变换得到2D DFT。 图3.6 　二维DFT变换方法 3．离散卷积定理 设f(x,y)和g(x,y) 是大小分别为A×B和C×D的两个数组，则它们的离散卷积定义为 卷积定理 （3.12） （3.13） 【例3.2】用MATLAB实现图像的傅里叶变换。 解：MATLAB程序如下： A=imread(pout.tif); %读入图像 imshow(A); %显示图像 A2=fft2(A); %计算二维傅里叶变换 A2=fftshift(A2); %将直流分量移到频谱图的中心 figure, imshow(log(abs(A2)+1),[0 10]); %显示变换后的频谱图 （a）原始图像 （b）图像频谱 图3.7 傅里叶变换 3.2 二维离散余弦变换（DCT） 任何实对称函数的傅里叶变换中只含余弦项，余弦变换是傅里叶变换的特例，余弦变换是简化DFT的重要方法。 3.2.1 一维离散余弦变换 将一个信号通过对折延拓成实偶函数，然后进行傅里叶变换，我们就可用2N点的DFT来产生N点的DCT。 1．以x=-1/2为对称轴折叠原来的实序列f(n) 得： ＝ （3.14） -N -1 0 N-1 N N+1 f (n) 图3.8 延拓示意图 2．以2N为周期将其周期延拓，其