圆的标准方程与般方程.docVIP

圆的标准方程 1、情境设置： 在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么，原是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程又有什么特征呢？ 探索研究： 2、探索研究： 确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r。（其中a、b、r都是常数，r0）设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M满足的条件是（引导学生自己列出）P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M适合的条件 ① 化简可得： ② 引导学生自己证明为圆的方程，得出结论。 方程②就是圆心为A(a,b),半径为r的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程。 3、知识应用与解题研究 例（1）：写出圆心为半径长等于5的圆的方程，并判断点是否在这个圆上。 分析探求：可以从计算点到圆心的距离入手。 探究：点与圆的关系的判断方法： （1），点在圆外 （2）=，点在圆上 （3），点在圆内 例（2）：的三个顶点的坐标是求它的外接圆的方程 师生共同分析：从圆的标准方程 可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定三个参数.（学生自己运算解决） 例(3):已知圆心为的圆经过点和,且圆心在上,求圆心为的圆的标准方程. 师生共同分析：如图确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小.圆心为的圆经过点和,由于圆心与A,B两点的距离相等，所以圆心在险段AB的垂直平分线m上，又圆心在直线上，因此圆心是直线与直线m的交点，半径长等于或。 （教师板书解题过程） 总结归纳：（教师启发，学生自己比较、归纳）比较例（2）、例(3)可得出外接圆的标准方程的两种求法： 根据题设条件，列出关于的方程组，解方程组得到得值，写出圆的标准方程. 根据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程. 课堂练习：课本第1、3、4题 4.提炼小结： 圆的标准方程。 点与圆的位置关系的判断方法。 根据已知条件求圆的标准方程的方法。 圆的一般方程 教学环节 教学内容 师生互动 设计意图 课题引入 问题：求过三点A (0，0)，B (1，1)，C (4，2)的圆的方程. 利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦，得用直线的知识解决又有其简单的局限性，那么这个问题有没有其它的解决方法呢？带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式——圆的一般方程. 让学生带着问题进行思考 设疑激趣导入课题. 概念形成与深化 请同学们写出圆的标准方程：(x – a)2 + (y – b)2 = r2，圆心(a，b)，半径r. 把圆的标准方程展开，并整理： x2 + y2 –2ax – 2by + a2 + b2 –r2=0. 取D = –2a，E = –2b，F = a2 + b2 – r2得x2 + y2 + Dx + Ey+F = 0① 这个方程是圆的方程. 反过来给出一个形如x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0的方程，它表示的曲线一定是圆吗？ 把x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0配方得 ②(配方过程由学生去完成)这个方程是不是表示圆？ （1）当D2 + E2 – 4F＞0时，方程②表示以为圆心， 为半径的圆； （2）当D2 + E2 – 4F = 0时，方程只有实数解，即只表示一个点； （3）当D2 + E2 – 4F＜0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形. 综上所述，方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0表示的曲线不一定是圆. 只有当D2 + E2 – 4F＞0时，它表示的曲线才是圆，我们把形如x2 + y2 + Dx + Ey + F 整个探索过程由学生完成，教师只做引导，得出圆的一般方程后再启发学生归纳. 圆的一般方程的特点： （1）①x2和y2的系数相同，不等于0. ②没有xy这样的二次项. （2）圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，因此只要求出这三个系数，圆的方程就确定了. （3）与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显. 通过学生对圆的一般方程的探究，使学生亲身体会圆的一般方程的特点，及二元二次方程表示圆所满足的条件. 应用举例 例1 判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径. （1）4x2 + 4y2 – 4x + 12y + 9 = 0 （2）4x2 + 4y2 – 4x + 12y + 11 = 0 解析：（1）将原方程变为 x2 + y2 – x + 3y += 0 D = –1，E =3，F =. ∵D2 + E2 – 4F = 1＞0 ∴此方程表示圆，圆心（，），半