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第四章 换面法 第一节 概述 第二节 变换投影面 点在V/H1体系中的投影 点的两次变换 3. 把一般位置直线变换成投影面垂直线 ? H2 D B A C d2 a2 c2 (b2) 求具有公共边BC的△ABC 和△BCD的夹角?。 ? a? d? c? b? X V H O c d b a O1 O2 X1 V1 H V1 H2 X2 a2 d2 c2 (b2) a2? d2? c2? b2? 例题2： C D S T B b2 t2 a2 C2(s2) (d2) H2 V H X O b? d? a? c? c d a b V1 X1 H O1 b1? a1? c1? d1? k1? g1? k g O2 X2 H2 V1 a2 b2 g? k? c2 (k2)(d2) g2 距离 例3： 求交叉两直线AB和CD间的距离。 X2 H2 V1 X1 H V1 a2b2 d2 c2 b1? a1? d1? c1? 11? 21? 2 1 b? a b d c a? X V H d? c? 2? 1? 12 22 例题4： 求两直线AB与CD的公垂线 。 H2 a? a X b? b c d c? d? 题5： 如何求两直线AB与CD间的距离？ X H1 V1 a? a X V H b? b a2 b2 X H V1 a1? b1? V 提示 b? a? a b c d ● c? 例6：已知两交叉直线AB和CD的公垂线的长度 为MN， 且AB为水平线，求CD及MN的投影。 M N ● m? ● d? ● a’1≡b’1≡m’1 ● n’1 ● c’1 ● d’1 ● n 空间及投影分析： V H X H V1 X1 圆半径=MN ● n? ● m 当直线AB垂直于投影面时，MN平行于投影面，这时它的投影m’1n’1=MN,且m’1n’1⊥c’1d’1。 P1 A C D N M c1 d1 a1m1b1 n1 B 作图： 请注意各点的投影如何返回？ 求m点是难点。 . . 例7：已知直线AB与?CDE平面平行，且相距20mm，求直线AB的水平投影。 X V H e d c d e c a b a1 b1 X1 V H1 c1 e1 d1 b a 20mm 空间及投影分析：AB与CD都平行于投影面时，其投影的夹角才反映实角（60°），因此需将AB与C点所确定的平面变换成投影面平行面。 例8: 过C点作直线CD与AB相交成60o角。 d? X1 H V1 X1 V1 H2 a b a? c? b? X V H c 作图： c2 ● ● ● c1 ● a’1?b’1 ● a2 ● d2 ● d ● b2 ● 几个解？ 两个解！ 已知点C是等边三角形的顶点，另两个顶点在直线AB上，求等边三角形的投影。 思考： 如何解？ 解法相同！ 60° D点的投影如何返回？ . . * 第一节 概述 第二节 投影变换 X O a? b b? a 实长 ? 特殊位置的直线： 可直接反映实长、倾角问题 X O a?(b?) a b 实长 X O b a a? c 实形 b? c? X O b? a a? c? 类似形 b? c? ? 特殊位置的平面： 可直接反映实形、倾角问题 正平面 正垂面 特殊位置的几何元素： 可直接反映度量、定位问题 e? f? e f a(b) b? a? d? c(d) c? 距离 m? c? a? b? a b c m z z 点到直线的距离 一、基本概念 改变空间几何元素与投影面的相对位置，使它们相互之间处于某一特殊位置的情况，从而使问题简化、得到解决——投影变换。 二、投影变换的方法 辅助投影面法（换面法） 2. 旋转法 X V H A B b a b? C a? c? 一、 概念： 换面法：空间几何元素不动，改变投影面的位置使其有利于解题。 实形 V c1? b1? a1? V H X O a? b? c? b a (c) b c a V1 O1 X1 X V H A B b a b? C a? c? 实形 V c1? b1? a1? 建立新投影面的条件： （1）新投影面要⊥原来一个投影面。 （2）新投影面要处于最有利解题位置。 二、基本条件 讲解：点 ? 线 ? 面 a1? H V1 X1 O1 ax1 V1 三、基本原理 1. 点的一次变换： ? 变换规律： 1). 点的新投影到新轴之距=旧投影到原轴之距； 2). 点的新投影与被保留投影的连线⊥新轴O1X1。 a? a A ax ax1 O1 X1 V O X H a? X O V H a ax a1? V H