数值分析第七章非线性方程求根习题答案解析.doc

WORD完美资料编辑 专业整理分享 第七章非线性方程求根 （一）问题简介 求单变量函数方程 (7.1) 的根是指求（实数或复数），使得.称为方程(7.1)的根,也称为函数的零点.若可以分解为 其中m为正整数,满足,则是方程(7.1)的根.当m=1时,称为单根;当m1时,称为m重根.若充分光滑,是方程(7.1)的m重根,则有 若在[a,b]上连续且,则方程(7.1)在(a,b)内至少有一个实根,称[a,b]为方程(7.1)的有根区间.有根区间可通过函数作图法或逐次有哪些信誉好的足球投注网站法求得. (二)方程求根的几种常用方法 1.二分法 设在[a,b]上连续,,则在(a,b)内有根.再设在(a,b)内仅有一个根.令,计算和.若则,结束计算;若,则令,得新的有根区间;若,则令,得新的有根区间.,.再令计算,同上法得出新的有根区间,如此反复进行,可得一有根区间套 且. 故 因此,可作为的近似根,且有误差估计 (7.2) 2.迭代法 将方程式(7.1)等价变形为 (7.3) 若要求满足则;反之亦然.称为函数的一个不动点.求方程(7.1)的根等价于求的不动点由式(7.3)产生的不动点迭代关系式(也称简单迭代法)为 (7.4) 函数称为迭代函数.如果对任意,由式(7.4)产生的序列有极限 则称不动点迭代法(7.4)收敛. 定理7.1(不动点存在性定理)设满足以下两个条件: 1.对任意有 2.存在正常数,使对任意,都有 (7.5) 则在上存在惟一的不动点. 定理7.2(不动点迭代法的全局收敛性定理)设满足定理7.1中的两个条件,则对任意,由(7.4)式得到的迭代序列收敛.到的不动点,并有误差估计式 (7.6) 和 (7.7) 定理7.3(不动点迭代法的局部收敛性定理)设为的不动点,在的某个邻域连续,且,则迭代法(7.4)局部收敛. 收敛阶的概念 设迭代过程(7.4)收敛于方程的根,如果迭代误差当时成产下列渐近关系式 (7.8) 则称该迭代过程是p阶收敛的.特别地,p=1时称线性收敛,p1时称超线性收敛,p=2时称平方收敛. 定理7.4(收敛阶定理)对于迭代过程(7.4),如果在所求根的邻近连续,并且 (7.9) 则该迭代过程在点的邻近是收敛的,并有 (7.10) 斯蒂芬森(Steffensen)迭代法 当不动点迭代法(7.4)只有线性收敛阶,甚至于不收敛时,可用斯蒂芬森迭代法进行加速.具体公式为 (7.11) 此法也可写成如下不动点迭代式 (7.12) 定理7.5(斯蒂芬森迭代收敛定理) 设为式(7.12)中的不动点,则是的不动点;设存在,,则是的不动点,则斯蒂芬森迭代法(7.11)是2阶收敛的. 3.牛顿迭代法 牛顿迭代法是一种特殊的不动点迭代法,其计算公式为 其迭代函数为 (7.13) 牛顿迭代法的收敛速度 当时,容易证明,,,由定理7.4知,牛顿迭代法是平方收敛的,且 (7.14) 重根情形的牛顿迭代法 当是的m重根时,迭代函数在处的导数,且.所以牛顿迭代法求重根只是线性收敛.若的重数m知道,则迭代式 (7.15) 求重根二阶收敛.当m未知时,一定是函数的单重零点,此时迭代式 (7.16) 也是二阶收敛