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石油大学-等流体力学(例题)
高等流体力学
一.两块无限大的平行平板之间充满液体,平板的倾角为,平板之间距离为b,液体的动力粘性系数为,密度为,重力加速度为g。若下板固定,上板在其本身的平面内以速度滑动,假设液体是牛顿流体,流动是层流流动,试问:
(1) 为何值时,平板之间的液体流量在固定坐标中为零。
(2) 在上述情况下,液体流速分布如何?试作出速度分布示意图。
解:(1)如下图所示建立坐标,上平板在x方向以速度运动,垂直和展向流速,由连续性方程得。
b
b
x
y
当只考虑重力作用时,N-S方程可写为:
(1-1)
(1-2)
(1-3)
由(1-3)式知,压强与无关,由(1-2)式可得:
令
由(1-1)、(1-2)、(1-3)可得:
由上式可得: (1-4)
为一常数,边界条件为:
,
,
(1-4)式的解为:
(1-5)
如令
可有:
(1-5)式可写为:
(1-6)
流量为:
若流量为零,则有:
(1-7)
所以当时,平板之间的液体流量在固定坐标中为零。
(2) 把(1-7)式代入(1-6)可得:
令,则:
流速分布如下图所示:
x
x
y
二.设平板层流附面层中流速分布为:
或
用动量方程求、、。
解:方法一
对于平板层流附面层流动,动量积分方程式可写为:
(a-1)
设,则,边界条件相应写为:;,;
假设一个流速分布后,可分别计算:
边界层排挤厚度
(a-2)
边界层动量损失厚度
(a-3)
壁面切应力
令, 则有:
(a-4)
把(a-2)、(a-3)、(a-4)代入(a-1)式,得:
积分此式可得:
求出后便可以求出、、
对于,可以分别计算:
可得到:
方法二
平板层流附面层中流速分布为:
由牛顿内摩擦定律和速度分布可得:
(b-1)
(b-2)
(b-3)
将(b-1)、(b-2)、(b-3)代入 得:
即:
对上式分离变量积分可得:
即:
所以:
所以边界层的排挤厚度为:
壁面切应力为:
三.阅读有关文献资料,叙述各种湍流模式理论,介绍求解湍流问题的新方法和新理论。
尽管经过一个多世纪的理论与实验研究,已揭示出很多湍流中的流动现象。但对于湍流的内在相互作用机制及外界的控制作用,人们尚未了解得十分清楚。湍流对许多因素都很敏感,如变形、压力梯度等,而这些因素的作用又往往是非线性和相互耦合的。在理论上,尽管湍流研究有约一百年的历史,但湍流问题仍是经典物理学中尚待解决的主要问题。在今天的研究中,随着计算机的迅速发展,湍流的数值模拟已成为解决工程设计中流动问题的重要手段。一般以为,湍流的基本物理性质可由N-S方程来描述,然而直接求解这个方程以解决实际中的复杂流动问题,这在目前乃至将来都受限于计算机的容量和速度。因此,几乎所有湍流的工程计算都基于某种形式的N-S模化方程。湍流模式的研究因而对解决工业湍流问题有着重要意义。
湍流模式的建立主要基于雷诺提出的平均方法,即将湍流量分解成平均和脉动量两部分,取平均(如时间平均)后的N-S方程通常称作雷诺方程,其中出现的脉动量间的相关项包含湍流的全部信息。如何在平均场和脉动相关项之间建立一定的合理关系是湍流模式的主题。目前工程计算中常用的有两类模式,一是符合Boussinesq猜想的涡粘性模式,如普朗特早期提出的混合长度模式、一方程模式、二方程k-模式;另一类则是对二阶矩方程进行封闭模化的二阶矩闭合或雷诺应力模式。k-模式对计算机能力的要求大大低于雷诺应力模式,因而在工程计算中被广泛应用。
1.涡粘性湍流模式
涡粘性湍流模式
布西内斯克(Boussinesq) 早在一个世纪前就提出了湍流的涡粘性概念,他认为,湍流运动的本质是涡的运动,湍流涡对流场的作用是提高了流体所感觉到的粘性。他为了解决湍
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