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中值定理与导数的应用 第三章 微分中值定理与导数应用 微分中值定理 洛必达法则 单调性、函数极值与最值 3.1 微分中值定理 罗尔定理 拉格朗日定理 柯西定理 定理1 罗尔(Rolle)定理 罗尔定理的几何意义 至少有一点的切线平行于（高度相同的两端点的连线 定理2 拉格朗日(Lagrange)中值定理 定理3 柯西(Cauchy)中值定理 * 怎样证明洛尔定理 ？ 闭区间上连续函数的最大最小值定理！ 注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立. 例 证 由介值定理 即为方程的小于1的正实根. 矛盾, 弦AB方程为 作辅助函数 拉格朗日中值公式 注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系. 推论 例1 证 用微分中值定理证明不等式 练习 证 由上式得 几何解释: 证 作辅助函数 例 证 四、小结 Rolle 定理 Lagrange 中值定理 Cauchy 中值定理 罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系； 注意定理成立的条件； 注意它们的几何意义，掌握利用几何意义构造证明。 * *
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