向量法解立体几何.ppt

* * 空间“综合”问题 复习引入 如图，已知：直角梯形OABC中，OA∥BC,∠AOC=90°，SO⊥面OABC，且OS=OC=BC=1，OA=2。求： (1)异面直线SA和OB所成的角的余弦值 (2)OS与面SAB所成角的余弦值 (3)二面角B－AS－O的余弦值 O A B C S x y z 【课后作业】 z x y F1 F2 F3 A C B O 500kg 例1、如图,一块均匀的正三角形面的钢板的质量为 ，在它的顶点处分别受力 、 、 ，每个力与同它相邻的三角形的两边之间的夹角都是 ，且 .这块钢板在这些力的作用下将会怎样运动？这三个力最小为多大时，才能提起这块钢板？ F1 F3 F2 F1 F2 F3 A C B O 500kg F1 F3 F2 例4 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F. (1)求证：PA//平面EDB (2)求证：PB⊥平面EFD (3)求二面角C-PB-D的大小。 A B C D P E F A B C D P E F X Y Z G 解：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1 (1)证明：连结AC,AC交BD于点G,连结EG A B C D P E F X Y Z G (2)求证：PB⊥平面EFD A B C D P E F X Y Z (3)求二面角C-PB-D的大小。 A B C D P E F X Y Z 当E,F在公垂线同一侧时取负号 当d等于0是即为“余弦定理” =π—θ（或θ）， a b C D A B CD为a,b的公垂线 则 A，B分别在直线a,b上 已知a,b是异面直线，n为a的法向量 异面直线间的距离 即 间的距离可转化为向量 在n上的射影长， z x y A B C C1 即 取x=1,则y=-1,z=1,所以 E A1 B1 x y z A B C D E 2、如图，四面体DABC中，AB，BC，BD两两垂直，且AB=BC=2，点E是AC中点；异面直线AD与BE所成 角为 ，且 ，求四面体DABC的体积。 3、在如图的实验装置中，正方形框架的边长都是1，且平面ABCD与平面ABEF互相垂直。活动弹子M，N分别在正方形对角线AC和BF上移动，且CM和BN的长度保持相等，记CM=BN= （1）求MN的长； （2）a 为何值时？MN的长最小？ （3）当MN的长最小时， 求面MNA与面MNB所成 二面角的余弦值。 A B C D E F M N *