高等数学第章预备知识.ppt

前 言 一、文科生学习高等数学的目的 五、高等数学学习方法 第 一 章 预备知识 基本要求 §1 集合 §2 函数 §3 函数的性质 §4 反函数与复合函数 §5 初等函数 习题一 例6 取整函数 y=[x] ,[x]表示不超过 的最大整数. 1 2 3 4 5 -2 -4 -4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1 -3 x y o 图形为阶梯曲线 它可以表示成 当 例如 [ 0.34 ] = 0 = –2 [ – 1.34 ] = 3 [ 3 ] = – 3 [ – 3 ] 例7 设计一个体积为V的有盖圆柱形容器，求其 表面积A和底半径R之间的函数关系。 解 设圆柱形容器底的高为H，于是表面积为 代入上式得 定义域为 2.3 建立函数关系 例8(单利问题) 设一笔贷款的本金为p0元, 年利率为 r, 贷款 期限为 x 年, 求本利和 P. 解:∵ 一年的利息为p0r元, 则 x 年的单利为 p0rx元, ∴ 本利和为 P = p0 + p0rx = p0 (1+ rx) 元 例9(复利问题) 设一笔贷款的本金为p0元, 年利率为 r, 贷款 期限为x 年, 求本利和 Px. 解: ∵ 贷款满一年后的本利和为 P1 = p0 (1+ r) 元, ∴ x 年后的本利和为 Px = p0 (1+ r) x 元 . 两年后的本利和为 P2 = P1 (1+ r) = p0 (1+ r)2 元, 几个常用的经济函数: 设某种产品在某个时间范围内,如果把除价格以外 的因素看作不变,则需求量 可视为价格 的函数, 记作 称为需求函数; 设某企业生产某种产品,生产 件的固定成本为 变动成本为 , ,总成本函数 销售 件产品的总收益函数为 总收益函数和总成本函数之差 称为总利润函数. 例10 某民营企业的固定成本为12000元，每单位产出 的可变成本为10元，产品的售价为每单位30元，求 （1）固定成本函数；（2）可变成本函数；（3）总 成本函数；（4）总收益函数；（5）总利润函数。 解 设产量为 ，则 解 例11 火车站收取行李费的规定如下：当行李不超过50公斤时，按基本运费计算，如从长沙到某地每公斤收0.15元;当超过50公斤时，超重部分按每公斤收0.25元。试求长沙到该地的行李费 与重量 （元） (公斤) 之间的函数关系。 3.1 函数的有界性 设函数 f (x) 的定义域为 X， 数集 I ? X. 如果存在正数 K， 使得对于一切 x ∈ I，有 | f (x) | ≤ K， 则称函数 f (x) 在 I 上有界。 否则称为无界。 设 y = f (x) 的定义域为 X， 对任意 x1，x2∈X ， 当 x1＜ x2 时 （1）有 f (x1) ＜ f (x2) ，则称 f (x) 在 X 上单调增加； 3.2 函数的单调性 x y o （2）有 f (x1) ＞ f (x2) ，则称 f (x) 在 X 上单调减少。 单调递增函数或单调递减函数统称为单调函数. 单调递增区间与单调递减区间统称为单调区间 x y o 3.3函数的奇偶性: y x o x -x ,有 则称 为偶函数. 设函数 的定义域 X关于原点对称,若对 偶函数的图形关于 轴对称 . 奇函数的图形关于原点对称. y x o x -x 若对 ,有 则称 为奇函数. 例：判断下列函数的奇偶性： （1）f (x) = x3 cos x （2）f (x) = x(1– x) 解（1）∵ 函数 f (x) 的定义域为 R, 是关于原点的对称区间, ∴ f (x) = x3cos x 为奇函数。 （2） f (x) 的定义域是关于原点的对称区间， ∴ f (x) 为非奇非偶函数。 = (– x)3cos(– x) = – x3cos x = – f (x)， 又有 f (–x) f（x）= x(1 – x) = – x(x – 1) 但 f (– x) = – x(1 + x) ， 3.4 函数的周期性 若存在一个正数T, 通常说周期函数的周期是指其最小正周期. 有 且 使得对 周期为T的周期函数的图形在每个长度为T的区间上的形状相同