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幂指对函数复习 第 PAGE1页 共 NUMPAGES14页 幂、指、对函数综合复习 一、指数与指数函数 （1）根式的概念 ①如果，且，那么叫做的次方根．当是奇数时，的次方根用符号表示；当是偶数时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号表示；0的次方根是0；负数没有次方根． ②式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数．当为奇数时，为任意实数；当为偶数时，． ③根式的性质：；当为奇数时，；当为偶数时， ． （2）分数指数幂的概念 ①正数的正分数指数幂的意义是：且．0的正分数指数幂等于0． ②正数的负分数指数幂的意义是：且．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质 ① ② ③ （4）指数函数图像与性质 函数名称 指数函数 定义 0101函数且叫做指数函数 0 1 0 1 图象 定义域 值域 过定点 图象过定点，即当时，． 奇偶性 非奇非偶 单调性 在上是增函数 在上是减函数 函数值的 变化情况 变化对 图象的影响 在第一象限内，越大图象越高；在第二象限内，越大图象越低． 二、对数与对数函数 （1）对数的定义 ①若，则叫做以为底的对数，记作，其中叫做底数，叫做真数． ②负数和零没有对数． ③对数式与指数式的互化：． （2）几个重要的对数恒等式 ，，． （3）常用对数与自然对数 常用对数：，即；自然对数：，即（其中…）． （4）对数的运算性质 如果，那么 ①加法： ②减法： ③数乘： ④ ⑤ ⑥换底公式： （5）对数函数及其性质 函数名称 对数函数 定义 函数且叫做对数函数 图象 0 0 1 0 0 1 定义域 值域 过定点 图象过定点，即当时，． 奇偶性 非奇非偶 单调性 在上是增函数 在上是减函数 函数值的 变化情况 变化对 图象的影响 在第一象限内，越大图象越靠低；在第四象限内，越大图象越靠高． (6)反函数的概念 设函数的定义域为，值域为，从式子中解出，得式子．如果对于在中的任何一个值，通过式子，在中都有唯一确定的值和它对应，那么式子表示是的函数，函数叫做函数的反函数，记作，习惯上改写成． 说明：反函数的求法 ①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式中反解出； ③将改写成，并注明反函数的定义域． （7）反函数的性质 ①原函数与反函数的图象关于直线对称． ②函数的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域． ③若在原函数的图象上，则在反函数的图象上． ④一般地，函数要有反函数则它必须为单调函数． 三、幂函数 （1）幂函数的定义： 一般地，函数叫做幂函数，其中为自变量，是常数． （2）幂函数的图象 （3）幂函数的性质 ①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限． ②过定点：所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点． ③单调性：如果，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数．如果，则幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴． ④奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数．当（其中互质，和），若为奇数为奇数时，则是奇函数，若为奇数为偶数时，则是偶函数，若为偶数为奇数时，则是非奇非偶函数． ⑤图象特征：幂函数，当时，若，其图象在直线下方，若，其图象在直线上方，当时，若，其图象在直线上方，若，其图象在直线下方． 四、例题分析 例1　已知函数的图象与两坐标轴都无公共点，且其图象关于y轴对称，求n的值，并画出函数的图象． 解：因为图象与y轴无公共点，故，又图象关于y轴对称，则为偶数，由，得，又因为，所以． 　　当时，不是偶数；　　当时，为偶数； 　　当时，为偶数； 　　当时，不是偶数； 　　当时，为偶数； 　　所以n为，1或3． 　　此时，幂函数的解析为或，其图象如图１所示． 例2　已知点在幂函数的图象上，点，在幂函数的图象上．问当x为何值时有： （１）；（２）；（３）． 解：设，则由题意，得，∴，即．再令，则由题意，得， 　　∴，即．在同一坐标系中作出与的图象，如图2所示．由图象可知： 　　（1）当或时，； 　　（2）当时，； 　　（3）当且时，． 例3、已知函数为偶函数，且，求m的值，并确定的解析式． 　　分析：函数为偶函数，已限定了必为偶数，且，，只要根据条件分类讨论便可求得m的值，从而确定的解析式． 解：∵是偶函数，∴应为偶数． 　　又∵，即，整理，得，∴，∴． 　　又∵，∴或1．当m=0时，为奇数（舍去）；当时，为偶数．故m的值为1，． 　　评注：利用分类讨论思想解题时，要充分挖掘已知条件中