多项式函数的图与多项式不等式.docVIP

2-4 多項式函數的圖形與多項式不等式 主題一多項式函數及其圖形 主題一 1. 由多項式所形成的函數﹐稱為多項式函數﹒ 2. 當多項式的次數為時﹐稱為次多項式函數﹐簡稱n次函數﹔而常數多項式所決定的函數﹐稱為常數函數﹒例如﹕是三次函數﹔是常數函數﹒ 3. 多項式函數的圖形﹕ (1) 常數函數及一次函數的圖形都是直線﹒ (2) 二次函數的圖形都是拋物線﹒ (3) 高次（三次或三次以上）函數的圖形都是連續不斷的曲線﹒（目前我們只能透過描點的方法﹐描出約略的圖形） 4. 多項式函數圖形的性質﹕ (1) 多項式函數的圖形都是連續不斷的﹒ (2) 對於次數不低於1次的多項式函數﹐當首項係數為正數時﹐函數圖形的最右方是上升的﹔當首項係數為負數時﹐函數圖形的最右方是下降的﹒ 　　　　 例題1 描繪三次函數的圖形﹒ 首先列出一些滿足的點如下﹕ … 0 1 2 … … 0 0 0 6 … 接著在坐標平面上﹐分別將上列各數對描點﹐再利用平滑曲線把這些點連接起來而得出下圖﹐即為的圖形﹐其中圖形與軸有三個交點﹐這三點的坐標分別為﹒ 多項式函數的圖形與方程式的根 主題二1. 多項式函數之圖形與軸交點的坐標﹐就是多項式方程式的實根﹒ 主題二 2. 多項式方程式的實根會呈現在函數的圖形上﹐而虛根是不會在圖形上出現 例題2 (1) 描繪四次函數的圖形﹐並指出圖形與軸交點的坐標﹒ (2) 解四次方程式﹒ (1) 利用描點的方法﹐可得函數的圖形如下﹐ 其中圖形與軸有三個交點﹐這三點的坐標分別為﹒ (2) 方程式的四個根為﹐其中為二重根﹒ 例題3 已知三次函數的部分圖形如右﹐求的值﹒ 因為圖形與軸交於二點﹐ 且是三次函數﹐所以可設﹒ 又由圖形通過﹐可列得 ?﹒ 解得﹐即﹒ 故﹒ 一次不等式 主題三1. 設是實係數次多項式﹐不等式﹕和都稱為次多項式不等式﹐簡稱n次不等式﹒ 主題三 2. 當實數使得不等式成立時﹐實數稱為不等式的解﹒而「解不等式」就是要找出滿足該不等式的所有實數解﹒ 3. 一次不等式的解﹕ (1)當時﹐解為﹒ (2)當時﹐解為﹒ 例題4 解不等式﹒ 由移項得﹐所以﹐解得﹒ 再由展開得?﹐ 移項得﹐所以﹒ 因為需同時滿足兩不等式﹐所以兩範圍取共同的部分﹐即﹒ 二次不等式 主題四1. 設為實數﹐且﹒ 主題四 (1) 二次不等式的解為 （兩數之間）﹒ (2) 二次不等式的解為 或（兩數的兩邊）﹒ 2. 藉由二次方程式之判別式的正﹑負或零﹐可以幫助我們找出二次不等式的解﹕ (1) 例5為判別式的情形﹒ (2) 例6為判別式的情形﹒ (3) 例7為判別式的情形﹒ 例題5 解下列二次不等式﹕（判別式的情形） (1)﹒ (2)﹒ (3)﹒ (1) ? ?﹒ (2) ? ? ?或﹒ (3) 令﹐解得兩根為﹒因此﹐ ??﹒ 例題6 解二次不等式﹒（判別式的情形） 因為﹐所以原不等式可改寫成﹒又因為對任一實數﹐當時﹐恆成立﹒故原不等式的解為除3外的一切實數﹒ 例題7 解下列二次不等式﹕（判別式的情形） (1)﹒ (2)﹒ (1) 由配方法得﹒ 這不等式告訴我們﹕ 無論為任何實數﹐都不小於3（當然大於0）﹒ 故的解為全體實數﹒ (2) 由(1)的討論知無實數解﹒ 例題8 求滿足不等式的整數解﹒ 由??﹐得或﹒ 再由??﹐得﹒ 兩不等式的解取共同部分﹐得或﹒ 故整數解為﹐﹐﹐﹒ 二次函數的恆正與恆負 主題五1. 二次不等式恆成立 ? 且﹒ 主題五 2. 二次不等式恆成立 ? 且﹒ 例題9 設﹐若對任意實數﹐恆成立﹐求實數的範圍﹒ 因為恆成立﹐所以對任意實數﹐下列恆成立 ?﹐ 又二次項係數﹐所以只要判別式即可﹐即﹐ 解得???﹒ 主題六高次不等式 主題六 高次不等式的解題原則﹕ (1) 先使多項式的領導係數為正﹒ (2) 再將多項式分解成實係數一次式或二次式的乘積﹒ (3) 將多項式方程式的實根標示在數線上﹐再依粗略的函數圖形﹐討論不等式的解﹒ (4) 畫函數圖形的原則﹕從右上方畫起﹐奇數次方變號（曲線穿過軸）﹐偶數次方不變號（曲線與軸相切）﹒ 例題10 已知函數的圖形如右﹐求 (1)不等式的解﹒ (2)不等式的解﹒ (3)不等式的解﹒ (4)不等式的解﹒ 由圖形上點之坐標的正負﹐可得各不等式的解為 (1) 或﹒ (2) 或﹒ (3) 或﹒ (4) 或﹒ 例題11 解下列不等式﹕ (1)﹒ (2)﹒　(3)﹒ 依「從右上方畫起﹐奇數次方變號﹐偶數次方不變號」的原則﹐ 畫出各函數的粗略圖形﹐討論不等式的解如下﹕ (1) 由上圖可得原不等式的解為或﹒ (2) 由上圖可得原不等式的解為或或﹒ (3)