直线与方程(教师讲义打印一份).docVIP

直线与方程 典例解析 例1：求通过点P（2，3），并在两坐标轴上截距相等的直线方程． 解：设直线方程为 eq \f(x,a) ＋ eq \f(y,a) = 1，则有： eq \f(2,a) ＋ eq \f(3,a) = 1 得a = 5 ∴直线方程为 eq \f(x,5) ＋ eq \f(y,5) = 1 又：直线过原点 k = eq \f(3,2) ∴y = eq \f(3,2) x 例2：求斜率为k且被两坐标轴截得线段为定长m的直线方程． 解：设直线方程为y = kx＋b，则有： b2＋ eq \f(b2,k2) = m2 即 b = ± eq \f(km,\r(1＋k2)) ∴y = kx± eq \f(km,\r(1＋k2)) 例3：已知点P（6，4）和直线l1：y = 4x，求过P点的直线l，使它与直线l1以及x轴在第一象限内围成的三角形的面积最小． 解：设l与l1的交点为Q（x1，4x1）（x1＞1），则直线l的方程为y－4 = eq \f(4x1－4,x1－6) (x－6) ∴ l与x轴的交点为R（ eq \f(5x1,x1－1) ，0） S△＝ eq \f(10x12,x1－1) 10x12－Sx1＋S = 0 由△≥0,得：S≥40 当S＝40时，x1＝2，此时： x＋y－10 = 0 例4：若一直线l被直线l1：4x＋y＋6 = 0和l2：3x－5y－6 = 0截得的线段的中点恰好在坐标原点，求这条直线方程． 解：设l：y = kx 由 eq \b\lc\{(\a\al(y = kx,4x＋y＋6 = 0)) 得x = － eq \f(6,4＋k) 由 eq \b\lc\{(\a\al(y = kx,3x－5y－6 = 0)) 得x = eq \f(6,3－5k) ∴－ eq \f(6,4＋k) ＋ eq \f(6,3－5k) = 0 k = － eq \f(1,6) 得l：x＋6y = 0 例5：△ABC中，A(1，1),B(3，5),C(5，－1),直线l∥AC,且l平分△ABC的面积，求l 的方程． 解:∵kAC= eq \f(－1－1,5－1) = － eq \f(1,2) ∴设l：y =－ eq \f(1,2) x＋b 且交AB于D ∵l平分△ABC的面积 ∴ eq \f(BD,BA) = eq \f(1,\r(2)) eq \f(BD,DA) = eq \f(1,\r(2)－1) = eq \r(2) ＋1 ∴D点坐标：x = eq \f(4＋\r(2),2＋\r(2)) ,y = eq \f(6＋\r(2),2＋\r(2)) 则： eq \f(6＋\r(2),2＋\r(2)) = － eq \f(1,2) eq \f(4＋\r(2),2＋\r(2)) ＋b 得 b = eq \f(13－5\r(2),2) ∴l：x＋2y－13＋5 eq \r(2) = 0 例6：已知三角形两顶点是A(－10,2),B(6,4),垂心是H（5，2），求第三个顶点C的坐标． 解:∵kBH = 2 ∴kAC = － eq \f(1,2) ∴lAC：y－2 = － eq \f(1,2) （x＋10） 又 BC∥y轴 ∴C（6，－6） 解法二:∵kAB = eq \f(1,8) ∴kCH = －8 又H（5，2） ∴lCH：y－2 = －8（x－5） 又BC∥y轴 ∴C（6，－6） 例7：求过点P（1，1）且被两平行直线3x－4y－13 = 0与3x－4y＋7 = 0截得线段的长为4 eq \r(2) 的直线方程． 解：∵两平行线间的距离为： eq \f(︱7－(－13)︱,\r(3 2＋4 2)) = 4 ∴所求直线与平行线的夹角为45 0，设其斜率为k，则： ︱ eq \f(k－ eq \f(3,4) ,1＋ eq \f(3,4) k)︱= 1 解得k = － eq \f(1,7) 或 k = 7 所求直线方程为：y－1 = 7(x－1) 或 y－1 = － eq \f(1,7) (x－1) 即：7x－y－6 = 0 或 x＋7y－8 = 0 例8：直线和轴，轴分别交于点，在线段为边在第一象限内作等边△，如果在第一象限内有一点使得△和△的面积相等， 求的值。 解：由已知可得直线，设的方程为 则，过 得 例9：求经过点的直线，且使，到它的距离相等的直线方程 解：显然符合条件；当，在所求直线同侧时， ，或