大学数学(高数微积分)第九章欧几里得空间第六节课件(课堂讲义).pptVIP

其次，求属于 1 的特征向量. 把 ? = 1 代入 单击这里求解 求得基础解系为 把它正交化，得 再单位化，得 这是属于三重特征值 1 的三个标准正交的特征向 量. 再求属于 -3 的特征向量. 用 ? = -3 代入 (4) 得 单击这里求解 求得基础解系为 (1，-1，-1，1) . 把它单位化，得 特征向量 ?1 , ?2 , ?3 , ?4 构成 R4 的一组标准正交基 所求的正交矩阵为 而 TTAT = diag(1, 1, 1, -3) . 例 2 设 求正交矩阵 P , 使 P-1AP 为对角矩阵. 应该指出，在 中，对于正交矩阵 T 我们还可以进一步要求 | T | = 1 . 事实上，如果求得的正交矩阵 T 的行列式为 -1 ， 那么取 令 T1 = TS ， 则 T1 是正交矩阵，而且 | T1 | = | T | | S | = 1 . 显然 T1TAT1 = TTAT . 六、正交的线性替换 如果线性替换 的矩阵 C = ( cij ) 是正交的，那么它就称为正交的 线性替换. 正交的线性替换当然是非退化的. 用二次型的语言， 可以叙述为： 定理 8 任意一个实二次型 都可以经过正交的线性替换变成平方和 ?1y12 + ?2y22 + … + ?n yn2 , 其中平方项的系数 ?1 , ?2 , …, ?n 就是矩阵 A 的特 征多项式全部的根. 最后我们指出，这一节的结果可以应用到几何 上化简直角坐标系下二次曲面的方程，以及讨论二 次曲面的分类. 在直角坐标系下，二次曲面的一般方程是 a11x2 + a22y2 + a33z2 + 2a12xy + 2a13xz + 2a23yz 七、二次曲面的化简 + 2b1x + 2b2y + 2b3z + d = 0 . (5) 令 则 (5) 式可以写成 XTAX + 2BTX + d = 0 . (6) 经过转轴，坐标变换公式为 或者 X = CX1 . 其中 C 为正交矩阵且 | C | = 1 . 在新坐标系中，曲 面的方程就是 X1T(CTAC)X1 + 2(BTC)X1 + d = 0 . 根据上面的结果，有行列式为 1 的正交矩阵 C 使 这就是说，可以作一个转轴，使曲面在新坐标系中 的方程为 ?1x12 + ?2y12 + ?3z12 + 2b1*x1 + 2b2*y1 + 2b3*z1 + d=0, 其中 (b1*, b2*, b3*) = (b1, b2, b3)C . 这时，再按照 ?1 , ?2 , ?3 是否为零的情况，作适当 的移轴与转轴就可以把曲面的方程化成标准方程. 譬如说，当 ?1 , ?2 , ?3 全不为零时，就作移轴 于是曲面的方程化为 ?1x22 + ?2y22 + ?3z22 + d * = 0, 其中 例 3 把下列二次曲面的方程化为标准形，并 确定曲面的形状. 解 方程中的二次型部分的矩阵为 下面来求正交矩阵 C，使 CTAC 成对角形. 先 求 A 的特征值. 单击这里求特征多项式 所以 A 的三个特征值为: 当 时, 解方程组 即 得 单击这里求解 当 时, 解方程组 即 得 单击这里开始求解 当 时, 解方程组 即 得 单击这里开始求解 显然, p1 , p2 , p3 两两正交, 现把它们单位化. 令 再令 则 C 为正交矩阵, 且有 由于 所以作转轴 X = CX1 后，曲面 在新坐标系中的方程就是 变形得 最后作移轴 于是曲面的方程就化成标准方程： 由此可知，方程所表示的曲面为双叶双曲面. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容