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专业资料整理 完美WORD格式 第二章 数列极限 P.27 习题 2．按定义证明： （1） 证明 因为 ，所以，取，，必有. 故 （2） 证明 因为 ，于是，取，，有 . 所以 （3） 证明 因为 ，于是，取，，必有. 所以 （4） 证明 因为，于是，取，，必有. 所以 （5） 证明 因为，设，于是 ，从而 ，所以，取，，有. 故 3．根据例2，例4和例5的结果求出下列极限，并指出哪些是无穷小数列： （1）；（2）；（3） （4）；（5）；（6）；（7） 解 （1）（用例2的结果，），无穷小数列. （2），（用例5的结果，） （3），（用例2的结果，），无穷小数列. （4），（用例4的结果，），无穷小数列. （5），（用例4的结果，），无穷小数列. （6），（用例5的结果，）. （7）,（用例5的结果，）. 4．证明：若，则对任一正整数 k ，有 证明 因为，所以，于是，当时，必有，从而有，因此. 5．试用定义1证明： （1）数列不以1为极限；（2）数列发散. 证明（用定义1证明） 数列不以 a 为极限（即）的定义是：，，， （1）取，，取，有 ，故数列不以1为极限. 另证（用定义1’证明） 取，则数列中满足的项（有无穷多个）显然都落在1的邻域之外，故数列不以1为极限. （2）数列=，对任何，取，则数列中所有满足“n 为偶数，且”的项（有无穷多个），都落在 a 的邻域之外，故数列不以任何数 a 为极限，即数列发散. 6．证明定理2.1，并应用它证明数列的极限是1. 定理2.1 数列收敛于 a 充要条件是：为无穷小数列. （即的充要条件是） 证明 （必要性）设，由数列极限的定义，，有 ，所以 . （充分性）设，由数列极限的定义，，有 ，所以. 下面证明：数列的极限是1. 因为是无穷小数列，所以数列的极限是1. 7．证明：若，则. 当且仅当 a 为何值时反之也成立？ 证明 设，由数列极限的定义，，，所以也有. 但此结论反之不一定成立，例如数列. 当且仅当 a = 0 时反之也成立. 设，于是，，所以. 8．按定义证明： （1）； （2） （3），其中 证明 （1）因为. 于是，取，，必有，从而. （2）因为 ，于是，取，，必有，所以 （3）因为当 n 为偶数时， 当 n 为奇数时，，故不管n 为偶数还是奇数，都有. 于是，取，，必有，所以 . ? P.33 习题 1．求下列极限： ⑴ 根据P.24例2 ，，可得 ⑵ ⑶根据P.25例4 ，，可得 ⑷ 这是因为由P.29例1若，则. 于是由，得. ⑸ ，因为（） ⑹ 2．设，，且. 证明：存在正数N，使得当时，有. 证明 由，有. 因为，由P.24保号性定理2.4，存在，使得当时有. 又因为，所以，又存在，使得当时有. 于是取，当时，有. 3．设为无穷小数列，为有界数列，证明：为无穷小数列. 证明 因为为有界数列，所以存在，使得. 由为无穷小数列，知，. 从而当时，有，所以，即为无穷小数列. 4．求下列极限 （1） （2）因为 ，而 ，于是，从而 （3） （4）当时，，，而，所以. （5）因为，所以 （6）因为， 且，所以 5．设与中一个是收敛数列，另一个是发散数列，证明是发散数列. 又问和是否必为发散数列. 证明 （用反证法证明）不妨设是收敛数列，是发散数列. 假设数列收敛，则收敛，这与是发散数列矛盾，所以，数列发散. 同理可得数列发散. 和不一定是发散数列. 例如，若是无穷小数列，是有界的发散数列. 则和是无穷小数列，当然收敛. 但是，有下列结果：如果，是发散数列，则和一定是发散数列. 6．证明以下数列发散： （1） 证明 设，则，而，由P.33，定理2.8 知发散. （2） 证明 的偶数项组成的数列，发散，所以发散. （3） 证明 设，则子列 ，子列 ，故发散. 7．判断以下结论是否成立（若成立，说明理由；若不成立，举出反例）： （1）若和都收敛，则收敛. 解 结论不一定成立. 例如，设，则，都收敛，但发散. 注 若和都收敛，且极限相等（即），则收敛. （2）若，和都收敛，且有相同的极限，则收敛. 证明 设，则由数列极限的定义，知，，，；同样也有，，；，，. 取，当时，对任意的自然数 n ，若，则必有，从而；同样若，则必有，从而也有；若，则必有，从而. 所以，即收敛. 8．求下列极限： （1） 解 因为 而，所以 另解 因为，设， ，则. 于是，所