高等数学(高教版)第九章欧几里得空间第六节课件.pptVIP

令 则 (5) 式可以写成 XTAX + 2BTX + d = 0 . (6) 经过转轴，坐标变换公式为 或者 X = CX1 . 其中 C 为正交矩阵且 | C | = 1 . 在新坐标系中，曲 面的方程就是 X1T(CTAC)X1 + 2(BTC)X1 + d = 0 . 根据上面的结果，有行列式为 1 的正交矩阵 C 使 这就是说，可以作一个转轴，使曲面在新坐标系中 的方程为 ?1x12 + ?2y12 + ?3z12 + 2b1*x1 + 2b2*y1 + 2b3*z1 + d=0, 其中 (b1*, b2*, b3*) = (b1, b2, b3)C . 这时，再按照 ?1 , ?2 , ?3 是否为零的情况，作适当 的移轴与转轴就可以把曲面的方程化成标准方程. 譬如说，当 ?1 , ?2 , ?3 全不为零时，就作移轴 于是曲面的方程化为 ?1x22 + ?2y22 + ?3z22 + d * = 0, 其中 例 3 把下列二次曲面的方程化为标准形，并 确定曲面的形状. 解 方程中的二次型部分的矩阵为 下面来求正交矩阵 C，使 CTAC 成对角形. 先 求 A 的特征值. 单击这里求特征多项式 所以 A 的三个特征值为: 当 时, 解方程组 即 得 单击这里求解 当 时, 解方程组 即 得 单击这里开始求解 当 时, 解方程组 即 得 单击这里开始求解 显然, p1 , p2 , p3 两两正交, 现把它们单位化. 令 再令 则 C 为正交矩阵, 且有 由于 所以作转轴 X = CX1 后，曲面 在新坐标系中的方程就是 变形得 最后作移轴 于是曲面的方程就化成标准方程： 由此可知，方程所表示的曲面为双叶双曲面. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 本节内容已结束 ! 若想结束本堂课, 请单击返回按钮. 主要内容 第六节 实对称矩阵的标准形 问题的提出 实对称矩阵的性质 主要结论 正交矩阵的求法 举例 正交的线性替换 一、问题的提出 在第五章我们得到，任意一个对称矩阵都合同 于一个对角矩阵， 使 CTAC 成对角形. 在这一节，我们将利用欧氏空间的理论 把第五章中关于实对称矩阵的结果进行加强，这就 是这一节要解决的主要问题： 换句话说，都有一个可逆矩阵 C 对于任意一个 n 级实对称矩阵 A ，都存在一个 n 级正交矩阵 T ，使 TTAT = T -1AT 成对角形. 先讨论对称矩阵的一些性质，它们本身在今后 也是非常有用的. 我们把它们归纳成下面几个引理 二、实对称矩阵的性质 引理 1 设 A 是实对称矩阵，则 A 的特征值 都是实数. 证明 设 ?0 是 A 的特征值，于是有非零向量 满足 A? = ?0 ? . 令 其中 xi 是 xi 的共轭复数，则 A? = ?0 ? . 考察等式 ?T (A? ) = ?TAT? = (A? )T? = (A? )T? ， ?T (A? ) = ?TAT? = (A? )T? = (A? )T? ， 其左边为 ?0?T? ， 右边为 ?0?T? .