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高考总复习五----- 直线与圆综合 一、疑难知识点导析： 1、定比分点公式:定比分点公式是解决共线三点A(1，1)，B(2，2)，P(，)之间数量关系的一个公式，其中λ的值是起点到分点与分点到终点的有向线段的数量之比.这里起点、分点、终点的位置是可以任意选择的，一旦选定后λ的值也就随之确定了.若以A为起点，B为终点，P为分点， 则定比分点公式是 ，当P点为AB的中点时，λ=1，此时中点坐标公式是. 2、 3、确定圆方程需要有三个互相独立的条件。圆的方程有两种形式，要知道两种形式之间的相互转化及相互联系 （1）圆的标准方程：，其中（，b）是圆心坐标，是圆的半径； （2）圆的一般方程：（＞0），圆心坐标为（-，-），半径为=. 4、 二、基本方法引导　 1．直线与圆的位置关系的判定方法. （1）方法一　直线：；圆：. 一元二次方程 （2）方法二　直线: ；圆：，圆心（，b）到直线的距离为 d= 2、点与圆的关系的判断方法： （1），点在圆外 （2）=，点在圆上 （3），点在圆内 3、两圆的位置关系的判定方法. 设两圆圆心分别为O1、O2，半径分别为1，2，|O1O2|为圆心距，则两圆位置关系如下： |O1O2|1+2两圆外离； |O1O2|=1+2两圆外切； | 1-2||O1O2|1+2两圆相交； | O1O2 |=|1-2|两圆内切； 0| O1O2|| 1-2|两圆内含. 三、例题选讲　 直 线 相 关 （一）、斜率与含参线性规划问题； 例1．若满足约束条件，目标函数仅在点（1，0）处取得最小值，则的取值范围是（ ） A B C D 解析：当目标函数的斜率非负时，需满足，解得； 当目标函数的斜率为负时，需要满足解得. 综上， 练习、已知平面区域D由以A（1，3）、B（5，2）、C（3，1）为顶点的三角形内部和边界组成。若在区域D内有无穷多个点可使目标函数取得最小值，则（ ） A. B. C.1 D.4 解析：由A（1，3）、B（5，2）、C（3，1）的坐标画右上图 （1）若，，只有一个点为最小值，不合题意； （2）若，目标函数的斜率为，当目标函数与直线AC重合时有无穷多个点可使目标函数取得最小值，故；同时当目标函数与直线AB重合时有无穷多个点可使目标函数取得最大值.与题意矛盾，舍去. （3）若，目标函数的斜率为，当目标函数与直线BC重合时有无穷多个点可使目标函数取得最大值.与题意矛盾，舍.综上可知，. （二）、对称的一般原理和特殊情况（） 例1.求直线：关于直线l：对称的直线的方程. 解析：联立直线和直线l解得交点E ，E点也在上. 方法一：在直线：上找一点A（2，0），设点A关于直线l：的对称点B的坐标为（x0，y0），解得B. 由两点式得直线b的方程为，即 方法二：设直线b上的动点P关于：的对称点Q，则有 解得 Q（x0，y0）在直线：上，则， 化简得. 点评：方法二即著名的设而不求。 练习1、曲线C：关于直线对称的曲线的方程________ 解析：如果关于对称的直线的斜率是，则可以直接用结论.以本题为例， 点评：凡是关于对称的直线斜率为，直接代入即可.证明很简单，略. 练习2、已知圆C与圆关于直线对称，则圆C的方程为（ ） B. C. D. 解析：由得到 选C 例2.已知点M，在直线：和y轴上各找一点P和Q，使△MPQ的周长最小. 解析：可求得点M关于的对称点M1，同样容易求得点M关于y轴的对称点 M2.由M1及M2两点可得到直线M1M2 令，得到M1M2与轴的交点Q 解方程组得交点P 故点P、Q即为所求. （三）直线系问题：过两交点的直线系；平行直线系；垂直直线系. 设直线，，经过的交点的直线方程为（除去）； 注意：可以推广到过曲线与的交点的方程为：。 求过直线：与直线：的交点且在两坐标轴上截距相等的直线方程. 解析：设所求直线方程为：， 当直线过原点时，则=0，则=－1，此时所求直线方程为：； 当所求直线不过原点时，令=0，解得=，令=0，解得=， 由题意得，=，解得，此时，所求直线方程为：. 综上所述，所求直线方程为：或. 例2、已知圆C：及直线 求证：无论为任何实数，直线恒与圆C相交。 证明：由易证直线过定点M，且，即点M在圆C内，点M又在直线上，故不论为任何实数，直线与圆C相交。 练习、求证:无论为何值,直线与点P的距离都小于4 EQ \r(,2) 证明：将直线方程按参数整理得，易得直线恒过定点M，求得|PM|，所以.而过点M且垂直PM的直线方程为 又无论为何值,题设直线系方程都不可能表示直线 圆 相 关 （一）圆的方程 例1、求与轴相切，圆心在直线上，且被直线截得的弦长等于的圆的方程。 解析：因圆