概率论与数理统计第五章课件.pptVIP

* 定义1：设X是一离散型随机变量，其分布列为： 则随机变量X 的数学期望为: 设X是一连续型随机变量，其分布密度为 则随机变量X的数学期望为 一、一维随机变量的数学期望 定义2： 第三章 随机变量的数字特征 （一）基本内容 （1）设二维离散随机变量(X,Y)的联合概率函数为p(xi , yj)，则 随机变量X及Y 的数学期望分别定义如下： （2）设二维连续随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x, y)，则 随机变量X及Y 的数学期望分别定义如下： 即： 假定级数是绝对收敛的. 假定积分是绝对收敛的. 二、二维随机变量的数学期望 即： 则定义随机变量函数 的数学期望为： （1）设离散型随机变量X 的概率分布为： 三、一维随机变量函数的数学期望 机变量函数 的数学期望为： 则定义随 （2）若X为连续型随机变量， 其概率密度为 （1）设二维离散随机变量(X,Y)的联合概率函数为p(xi , yj)，则 随机变量函数g(X,Y)的数学期望如下： （2）设二维连续随机变量(X,Y)的联合概率密度为f(x, y)，则 随机变量g(X,Y)的数学期望如下： 假定这个级数是绝对收敛的. 假定这个积分是绝对收敛的. 四、二维随机变量的函数的数学期望 五、关于数学期望的定理 定理1 推论 （1） （2） （3） 定理2 推论： 定理3 若X、Y 独立，则有： 推论 定义 X 的标准差： 定义 X 的方差： 若X 为离散型随机变量，则有 若X 为连续型随机变量，则有 方差的计算公式: 定理1 推论： 有关方差的定理： 六、方差与标准差 定理2： 若X与Y 独立， 推论： 七、某些常用分布的数学期望及方差 二项分布： 0 -1分布： 几何分布: 均匀分布: 指数分布: Poisson分布 二维随机变量的方差： 连续型随机变量 离散型随机变量 随机变量X 的 k 阶原点矩： 定义1： 定义2： X 的k 阶中心矩： 对于离散随机变量： 对于连续随机变量： 对于离散随机变量： 对于连续随机变量： 其中k为正整数。特别的， 特别的， 八、原点矩与中心矩 ⑴ 离散型随机变量： ⑵ 连续型随机变量： 1、X与Y 的协方差（或相关矩）： 定义 注 九、协方差与相关系数 定理1 定理2 若X与Y 独立，则： 注 设X与Y是任两个随机变量， 逆命题不成立。 2、X与Y 的相关系数 定义 定理3 且 定理4 定理5 如果 X 与Y 独立，则 反之不成立。 即: X 与 Y相互独立 X与 Y 不相关 概率论与数理统计作业9（§3.1） 1. X、Y独立同分布， 1/3 2/3 P 0 1 X 则 5/9 4/9 2. 设X的密度函数为 ,则 1/3 1/6 3. 随机变量的分布率为 ,则 -0.2 13.4 4. 已知随机变量的分布列为P(X=m)=1/10, m＝2,4,…,18,20, 则 11 5. 对两台仪器进行独立测试，已知第一台仪器发生故障的概率为 ，第二台仪器发生故障的概率为 ．令X表示测试中发生故障的仪器数，则 二、计算题 连续型随机变量的概率密度为 又知 ，求 k 和 的值。 解：由 得 又， 有 得 故由上两式解得k=3,a=2 的次品率为p，求每批产品抽查样品的平均数。 都是合格，则也停止检查而认为这批产品合格。设这批产品 立即停止检查而认为这批产品不合格；若连续检查5个产品 2 对某工厂的每批产品进行放回抽样检查。若发现次品，则 设随机变量X 表示每批产品抽查的样品数，则: ∴X 的概率分布表如下： 解 3．设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为 1）求EX, EY 及 E(XY)； 2）求X与Y的边缘密度函数； 解：1） 时， 时， 时， 时 概率论与数理统计作业10（§3.2～§3.4） 一、填空题 设随机变量 相互独立，其中 在[0，6]上服从 均匀分布， 服从 ， 服从参数为 的泊松分布, 记 ，则 46 2. 随机变量X、Y相互独立，又 则 --2 ， 　 8 ． 3. 随机变量