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立体几何经典例题剖析
考点一 空间向量及其运算
1. 已知三点不共线,对平面外任一点,满足条件,
试判断:点与是否一定共面?
解析:要判断点与是否一定共面,即是要判断是否存在有序实数对使或对空间任一点,有。
答案:由题意:,
∴,
∴,即,
所以,点与共面.
点评:在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候,首先要选择恰当的充要条件形式,然后对照形式将已知条件进行转化运算.
2. 如图,已知矩形和矩形所在平面互相垂直,点,分别在对角线,上,且,.求证:平面.
解析:要证明平面,只要证明向量可以用平面内的两个不共线的向量和线性表示.
答案:证明:如图,因为在上,且,所以.同理,又,所以
.又与不共线,根据共面向量定理,可知,,共面.由于不在平面内,所以平面.
点评:空间任意的两向量都是共面的.与空间的任两条直线不一定共面要区别开.
考点二 证明空间线面平行与垂直
3. 如图, 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AA1=4,点D是AB的中点, (I)求证:AC⊥BC1; ( = 2 \* ROMAN II)求证:AC 1//平面CDB1;
解析:(1)证明线线垂直方法有两类:一是通过三垂线定理或逆定理证明,二是通过线面垂直来证明线线垂直;(2)证明线面平行也有两类:一是通过线线平行得到线面平行,二是通过面面平行得到线面平行.
答案:解法一:( = 1 \* ROMAN I)直三棱柱ABC-A1B1C1,底面三边长AC=3,BC=4AB=5,
∴ AC⊥BC,且BC1在平面ABC内的射影为BC,∴ AC⊥BC1;
( = 2 \* ROMAN II)设CB1与C1B的交点为E,连结DE,∵ D是AB的中点,E是BC1的中点,
ABCA1B1C1Exyz∴ DE//AC1,∵ DE平面CDB
A
B
C
A1
B1
C1
E
x
y
z
∴ AC1//平面CDB1;
解法二:∵直三棱柱ABC-A1B1C1底面三边长AC=3,BC=4,AB=5,∴AC、BC、C1C两两垂直,如图,以C为坐标原点,直线CA、CB、C1C分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,则C(0,0,0),A(3,0,0),C1(0,0,4),B(0,4,0),B1
(1)∵=(-3,0,0),=(0,-4,0),∴?=0,∴AC⊥BC1.
(2)设CB1与C1B的交战为E,则E(0,2,2).∵=(-,0,2),=(-3,0,4),∴,∴DE∥AC1.
点评:转化转化2.平行问题的转化:
转化
转化
面面平行线面平行线线平行;
主要依据是有关的定义及判定定理和性质定理.
4. (2007武汉3月)如图所示,四棱锥P—ABCD中,ABAD,CDAD,PA底面ABCD,PA=AD=CD=2AB=2,M为PC的中点。
(1)求证:BM∥平面PAD;
(2)在侧面PAD内找一点N,使MN平面PBD;
(3)求直线PC与平面PBD所成角的正弦。
解析:本小题考查直线与平面平行,直线与平面垂直,
二面角等基础知识,考查空间想象能力和推理论证能力.
答案:(1)是的中点,取PD的中点,则
,又
四边形为平行四边形
∥,
∥ (4分)
(2)以为原点,以、、 所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系,如图,则,,,,,
在平面内设,,, 由
由
是的中点,此时 (8分)
(3)设直线与平面所成的角为
,,设为
故直线与平面所成角的正弦为 (12分)
解法二:
(1)是的中点,取PD的中点,则
,又
四边形为平行四边形
∥,
∥ (4分)
(2)由(1)知为平行四边形
,又
同理,
为矩形 ∥,,又
作故
交于,在矩形内,,
, 为的中点
当点为的中点时, (8分)
(3)由(2)知为点到平面的距离,为直线与平面所成的角,设为,
直线与平面所成的角的正弦值为
点评:(1)证明线面平行只需证明直线与平面内一条直线平行即可;(2)求斜线与平面所成的角只需在斜线上找一点作已知平面的垂线,斜线和射影所成的角,即为所求角;(3)证明线面垂直只需证此直线与平面内两条相交直线垂直变可.这些从证法中都能十分明显地体现出来
考点三 求空间图形中的角与距离
根据定义找出或作出所求的角与距离,然后通过解三角形等方法求值,注意“作、证、算”的有机统一.解题时注意各种角的范围:异面直线所成角的范围是0°<θ≤90°,其方法是平移法和补形法;直线与平面所成角的范围是0°≤θ≤90°,其解法是作垂线、找射影;二面角0°≤θ≤180°,其方法是:①定义法;②三垂线定理及其逆定理;③垂面法 另外也可借助
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