幂函数经典例的题目(答案).doc

实用标准文案 精彩文档 幂函数的概念 例1、下列结论中，正确的是(　　) A．幂函数的图象都通过点(0,0)，(1,1) B．幂函数的图象可以出现在第四象限 C．当幂指数α取1,3，eq \f(1,2)时，幂函数y＝xα是增函数 D．当幂指数α＝－1时，幂函数y＝xα在定义域上是减函数 解析　当幂指数α＝－1时，幂函数y＝x－1的图象不通过原点，故选项A不正确；因为所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，且y＝xα (α∈R)，y0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，故选项B不正确；而当α＝－1时，y＝x－1在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数，但它在定义域上不是减函数． 答案　C 例2、已知幂函数f(x)＝(t3－t＋1)xeq \f(1,5)(7＋3t－2t2) (t∈Z)是偶函数且在(0，＋∞)上为增函数，求实数t的值． 分析　关于幂函数y＝xα (α∈R，α≠0)的奇偶性问题，设eq \f(p,q) (|p|、|q|互质)，当q为偶数时，p必为奇数，y＝xeq \f(p,q)是非奇非偶函数；当q是奇数时，y＝xeq \f(p,q)的奇偶性与p的值相对应． 解　∵f(x)是幂函数，∴t3－t＋1＝1， ∴t＝－1,1或0. 当t＝0时，f(x)＝xeq \f(7,5)是奇函数； 当t＝－1时，f(x)＝xeq \f(2,5)是偶函数； 当t＝1时，f(x)＝xeq \f(8,5)是偶函数，且eq \f(2,5)和eq \f(8,5)都大于0， 在(0，＋∞)上为增函数． 故t＝1且f(x)＝xeq \f(8,5)或t＝－1且f(x)＝xeq \f(2,5). 点评　如果题中有参数出现，一定要注意对参数的分类讨论，尤其对题中的条件t∈Z给予足够的重视． 例3、如图是幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象，则(　　) A．-1n0m1　　　B．n－1,0m1 C．－1n0，m1 D．n－1，m1 解析　在(0,1)内取同一值x0，作直线x＝x0，与各图象有交点，则“点低指数大”．如图，0m1，n－1. 答案　B 点评　在区间(0,1)上，幂函数的指数越大，图象越靠近x轴；在区间(1，＋∞)上，幂函数的指数越大，图象越远离x轴． 例4、已知x2xeq \f(1,3)，求x的取值范围． 错解　由于x2≥0，xeq \f(1,3)∈R，则由x2xeq \f(1,3)，可得x∈R. 错因分析　上述错解原因是没有掌握幂函数的图象特征，尤其是y＝xα在α1和0α1两种情况下图象的分布． 正解　 作出函数y=x2和y=的图象(如右图所示)，易得x0或x1. 例5、函数f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式． 分析　解答本题可严格根据幂函数的定义形式列方程求出m，再由单调性确定m. 解　根据幂函数定义得 m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1， 当m＝2时，f(x)＝x3在(0，＋∞)上是增函数； 当m＝－1时，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求．故f(x)＝x3. 点评　幂函数y＝xα (α∈R)，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数α为常数(也可以为0)．这是判断一个函数是否为幂函数的重要依据和唯一标准．对本例来说，还要根据单调性验根，以免增根． 变式 已知y＝(m2＋2m－2)xeq \f(1,m2－1)＋2n－3是幂函数，求m，n的值． 解　由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m2＋2m－2＝1,m2－1≠0,2n－3＝0))， 解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(m＝－3,n＝\f(3,2)))， 所以m＝－3，n＝eq \f(3,2). 例6、比较下列各组中两个数的大小： 　　（1），；（2）0.71.5，0.61.5；（3），． 　　解析：（1）考查幂函数y＝的单调性，在第一象限内函数单调递增， 　　 ∵1.5＜1.7，∴＜， 　　（2）考查幂函数y＝的单调性，同理0.71.5＞0.61.5． 　　（3）先将负指数幂化为正指数幂可知它是偶函数， 　　∵＝，＝，又＞，　　∴＞． 　　点评：比较幂形式的两个数的大小，一般的思路是： 　　（1）若能化为同指数，则用幂函数的单调性； 　　（2）若能化为同底数，则用指数函数的单调性； 　　（3）若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作为桥梁来比较大小． 例7、比较下列各组数的大小 (1) 3－eq \f(5,2)与3.1－eq \f(5,2)；(2)－8－eq \f(7,8)与－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,9)))eq \f(7,8). 分