定积分在生活中地的应用.doc

实用标准文案 PAGE 精彩文档 PINGDINGSHAN UNIVERSITY 院 系 : 经济与管理学院 题 目 : 定积分在生活中的应用 年级专业 : 11级市场营销班 学生姓名 : 孙 天 鹏 定积分在生活中的应用 定积分作为大学里很重要的一部分，在生活有广泛的应用。微积分是与应用联系发展起来的，最初牛顿应用微积分是为了从万有引力导出行星三定律，此后，微积分极大的推动了数学的发展，同时也极大的推动了天文学、物理学、化学、工程学、经济学等自然科学的发展，而且随着人类知识的不断发展，微积分正指引着人类走向认知的殿堂。 一、定积分的概述 1、定积分的定义： 设函数在区间上有界. ①在中任意插入若干个分点,把区间分成个小区间且各个小区间的长度依次为， ，…，。 ②在每个小区间上任取一点，作函数与小区间长度的乘积（）， ③作出和 。记作极限 如果不论对怎样分法，也不论在小区间上点怎样取法，只要当时，和总趋于确定的极限，这时我们称这个极限为函数在区间上的定积分（简称积分），记作，即 ==, 其中叫做被积函数，叫做被积表达式，叫做积分变量，叫做积分下限，叫做积分上限，叫做积分区间。 2．定积分的性质 设函数和在上都可积，是常数，则和+都可积，并且 性质1 =; 性质2 =+ =-. 性质3 定积分对于积分区间的可加性 设在区间上可积，且，和都是区间内的点，则不论，和的相对位置如何，都有=+。 性质 4 如果在区间上1，则==。 性质 5 如果在区间上,则。 性质 6 如果在上,,则 性质 7（定积分中值定理）如果在上连续，则在上至少存一点使得 3．定理 定理1 微积分基本定理 如果函数在区间上连续,则积分上限函数=在上可导,并且它的导数是 ==. 定理 2 原函数存在定理 如果函数在区间上连续,则函数=就是在上的一个原函数. 定理3 如果函数是连续函数在区间上的一个原函数, 则 = 称上面的公式为牛顿-莱布尼茨公式. 二 、定积分的应用 1、定积分在几何中的应用 （1）设连续函数和满足条件，．求曲线，及直线所围成的平面图形的面积．（如图1） 解法步骤： 第一步：在区间上任取一小区间，并考虑它上面的图形的面积，这块面积可用以为高，以为底的矩形面积近似，于是． 第二步：在区间上将无限求和，得到. 图2 （2）上面所诉方法是以为积分变量进行微元，再求得所围成图形的面积；我们还可以将作为积分变量进行微元，再求围成的面积。由连续曲线、其中与直线、所围成的平面图形（图2）的面积为： 图2 例1 求由曲线，及直线，所围成图形的面积A． 解 （1）作出图形，如图所示． 易知，在上，曲线与的交点为； （2）取为积分变量，积分区间为．从图中可以看出，所围成的图形可以分成两部分； （3）区间上这一部分的面积和区间上这一部分的面积分别为 ， ， 所以，所求图形的面积为 =+ ． 例2 求椭圆的面积. 解 椭圆关于轴,轴均对称,故所求面积为第一象限部分的面积的4倍,即 利用椭圆的参数方程 应用定积分的换元法,,且当时,时,,于是 2．求旋转体体积 用类似求平面图形面积的思想我们也可以求一个立体图形的体积，例如一个木块的体积，我们可以将此木块作分割划分成许多基本的小块，每一块的厚度为，假设每一个基本的小块横切面积为，为上连续函数，则此小块的体积大约是，将所有的小块加起来，令，我们可以得到其体积： 。 例2 求由曲线, 直线 ,,绕轴旋转一周而形成的立体体积. 解 先画图形，因为图形绕轴旋转，所以取为积分变量，的变化区间为[1,4]，相应于[1，4]上任取一子区间[,+]的小窄条，绕轴旋转而形成的小旋转体体积，可用高为，底面积为的小圆柱体体积近似代替， 即体积微元为 ==, 于是，体积 = =16 16=12. 3.求曲线的弧长 （1）设曲线在上有一阶连续导数（如下图）,利用微元法，取为积分变量，在上任取小区间，切线上相应小区间的小段的长度近似代替一段小弧的长度，即.得弧长微元为： ,再对其积分， 则曲线的弧长为： （2）参数方程表示的函数的弧长计算，设曲线上一段的弧长.这时弧长微元为： 即 则曲线的弧长为 例3 (1)求曲线 上从0到3一段弧的长度 解 由公式 = （ ）知,弧长为 =====. (2)求摆线 在上的一段弧的长度（）． 解 取为积分变量，积分区间为．由摆线的参数方程，得 ，， ． 于是，由公式（16-13），在上的一段弧的长度为