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平面向量的数量积的性质
【问题导思】
已知两个非零向量a,b,θ为a与b的夹角.
1.若a·b=0,则a与b有什么关系?
【提示】 a·b=0,a≠0,b≠0,∴cos θ=0,θ=90°,a⊥b.
2.a·a等于什么?
【提示】 |a|·|a|cos 0°=|a|2.
(1)如果e是单位向量,则a·e=e·a=|a|cos〈a,e〉;
(2)a⊥b?a·b=0;
(3)a·a=|a|2即|a|=eq \r(a·a);
(4)cos〈a,b〉=eq \f(a·b,|a||b|)(|a||b|≠0);
(5)|a·b|≤|a||b|.
平面向量数量积的运算律
(1)交换律:a·b=b·a;
(2)分配律:(a+b)·c=a·c+b·c;
(3)数乘向量结合律:对任意实数λ,λ(a·b)=(λa)·b=a·(λb).
向量的数量积运算
(2013·海淀高一检测)已知|a|=5,|b|=4,a与b的夹角为120°,
(1)求a·b;(2)求a在b方向上的射影的数量.
【思路探究】 利用数量积的定义及几何意义求解.
【自主解答】 (1)a·b=|a||b|cos θ
=5×4×cos 120°=5×4×(-eq \f(1,2))=-10.
(2)∵|a|cos θ=5×cos 120°=-eq \f(5,2),
∴a在b方向上的射影的数量为-eq \f(5,2).
1.在书写数量积时,a与b之间用实心圆点“·”连接,而不能用“×”连接,更不能省略不写.
2.求平面向量数量积的方法
(1)若已知向量的模及其夹角,则直接利用公式a·b=|a||b|cos θ.
(2)若已知一向量的模及另一向量在该向量上的射影的数量,可利用数量积的几何意义求a·b.
1.(2013·玉溪高一检测)已知|a|=6,|b|=3,a·b=-12,则a在b方向上的射影的数量是( )
A.-4 B.4
【解析】 cosa,b=eq \f(a·b,|a||b|)=eq \f(-12,6×3)=-eq \f(2,3),向量a在向量b方向上的射影的数量为|a|cosa,b=6×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(2,3)))=-4,故选A.
【答案】 A
2.已知|a|=6,e为单位向量,当向量a、e之间的夹角θ分别等于45°,90°,135°时,分别求出a·e及向量a在e方向上的正射影的数量.
【解】 当向量a和e之间的夹角θ分别等于45°,90°,135°时,
|a|·|e|cos 45°=6×1×eq \f(\r(2),2)=3eq \r(2);
|a|·|e|cos 90°=6×1×0=0;
|a|·|e|cos 135°=6×1×(-eq \f(\r(2),2))=-3eq \r(2).
当向量a和e之间的夹角θ分别等于45°,90°,135°时,a在e方向上的正射影的数量分别为:
|a|cos θ=6×cos 45°=3eq \r(2);
|a|cos θ=6×cos 90°=0;
|a|cos θ=6×cos 135°=-3eq \r(2).
与向量模有关的问题
已知向量a与b的夹角为120°,且|a|=4,|b|=2,求:(1)|a+b|;
(2)|(a+b)·(a-2b)|.
【思路探究】 利用a·a=a2或|a|=eq \r(a2)求解.
【自主解答】 由已知a·b=|a||b|cos θ=4×2×cos 120°=-4,a2=|a|2=16,b2=|b|2=4.
(1)∵|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=16+2×(-4)+4=12,∴|a+b|=2eq \r(3).
(2)∵(a+b)·(a-2b)=a2-a·b-2b2=16-(-4)-2×4=12,∴|(a+b)·(a-2b)|=12.
1.此类求模问题一般转化为求模平方,与数量积联系.
2.利用a·a=a2=|a|2或|a|=eq \r(a2),可以实现实数运算与向量运算的相互转化.
设e1、e2是夹角为45°的两个单位向量,且a=e1+2e2,b=2e1+e2,试求|a+b|的值.
【解】 ∵a+b=(e1+2e2)+(2e1+e2)=3(e1+e2),
∴|a+b|=|3(e1+e2)|=3|e1+e2|=3eq \r(?e1+e2?2)
=3eq \r(e\o\al(2,1)+2e1·e2+e\o\al(2,2))=3eq \r(2+\r(2)).
与向量夹角有关的问题
(2014·济南高一检测)若向量a,b,c两两所成的角均为120°,且|a|=1,|b|=2,|c|=3,求向量a+b与向量a+c的夹角θ的余弦值.
【思路探究】 先利用已知条件,分别求出(a+b)·(a+c),|a+b|和|a+
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