2014年全国初中数学联赛试题及答案(修正版).doc

2014年全国初中数学联合竞赛试题参考答案 第一试 一、选择题： 1．已知x，y为整数，且满足( EQ \F(1,x)＋ EQ \F(1,y)) ( EQ \F(1,x2)＋ EQ \F(1,y2))＝－ EQ \F(2,3)( EQ \F(1,x4)－ EQ \F(1,y4))， QUOTE 1x+1y1x2+1y2x4y4x4-y4=23 则x＋y的可能的值有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2．已知非负实数x，y，z满足x＋y＋z＝1，则t＝2xy＋yz＋2xz的最大值为（ ） A． EQ \F(4,7) B． EQ \F(5,9) C． EQ \F(9,16) D． EQ \F(12,25) 3．在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，BE⊥AC于E，交AD于P，已知BP＝3，PE＝1，则AE＝（ ） A． EQ \F( eq \r(\s\do1(6)),2) B． eq \r(\s\do1(2)) C． eq \r(\s\do1(3)) D． eq \r(\s\do1(6)) 4．6张不同的卡片上分别写有数字2，2，4，4，6，6，从中取出3张，则这3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率是（ ） A． EQ \F(1,2) B． EQ \F(2,5) C． EQ \F(2,3) D． EQ \F(3,4) 5．设[t]表示不超过实数t的最大整数，令{t}＝t－[t].已知实数x满足x3＋ EQ \F(1,x3)＝18，则 {x}＋{ EQ \F(1,x)}＝（ ） A． EQ \F(1,2) B．3－ eq \r(\s\do1(5)) C． EQ \F(1,2)(3－ eq \r(\s\do1(5))) D．1 6．在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60° QUOTE ∠C=90° ，AC＝1，D在BC上，E在AB上，使得△ADE为等腰直角三角形, ∠ADE＝90° ,则BE的长为（ ） A．4－2 eq \r(\s\do1(3))　　　 B．2－ eq \r(\s\do1(3))　　　 C． EQ \F(1,2)( eq \r(\s\do1(3))－1)　　　 D． eq \r(\s\do1(3))－1 二、填空题： 1．已知实数a，b，c满足a＋b＋c＝1，eq \f( 1 , a＋b－c )＋eq \f( 1 , a＋c－b )＋eq \f( 1 , b＋c－a )＝1，则abc＝__ 2．使得不等式 EQ \F(9,17)＜ EQ \F(n,n＋k)＜ EQ \F(8,15) QUOTE 917nn+k815 对唯一的整数k成立的最大正整数n为________． 3．已知P为等腰△ABC内一点，AB＝BC，∠BPC＝108°，D为AC的中点，BD与PC交于点E，如果点P为△ABE的内心，则∠PAC＝________． 4．已知正整数a，b，c满足: 1＜a＜b＜c，a＋b＋c＝111，b2＝ac，则b＝________． 第一试 参考答案 一、选择题 1.C 2.A 3.B 4.B 5.D 6.A 二、填空题 1. 0 2. 144 3. 48° 4. 36 第二试 （A） 设实数满足，，求的值． 二、如图，在□ABCD中， D为对角线BD上一点，且满足∠ECD＝∠ACB, AC的延长线与△ABD的外接圆交于点F. 证明：∠DFE＝∠AFB 三、设n是整数，如果存在整数x，y，z满足n＝x3＋y3＋z3－3xyz，则称n具有性质P. 在1，5，2013，2014这四个数中，哪些数具有性质P，哪些数不具有性质P？并说明理由. 第二试 （A）答案 一、解 由已知条件可得，. 设，，则有，， 联立解得或. 若，即，，则是一元二次方程的两根，但这个方程的判别式，没有实数根； 若，即，，则是一元二次方程的两根，这个方程的判别式，它有实数根.所以 . 二、证明 由是平行四边形及已知条件知. 又A、B、F、 D四点共圆，所以，所以△∽△，所以.又，所以△∽△，故 . 三、解 取，，可得，所以1具有性质P. 取，，可得，所以5具有性质P. 为了一般地判断哪些数具