蝴蝶定理的证明及推广.doc

校选课《数学文化》课程论文 摘 要 蝴蝶定理想象洵美，蕴理深刻，近两百年来，关于蝴蝶定理的研究成果不断，引起了许多中外数学家的兴趣。到目前为止，关于蝴蝶定理的证明就有60多种，其中初等证法就有综合证法、面积证法、三角证法、解析证法等。而基于蝴蝶定理的推广与演变，能得到很多有趣与漂亮的结果。 关键词：蝴蝶定理；证明；推广； 一 摘要 蝴蝶定理最先是作为一个征求证明的问题，刊载于1815年的一份通俗杂志《男士日记》上。由于其几何图形形象奇特、貌似蝴蝶，便以此命名，定理内容：圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于E，F，则M为EF之中点。 关于蝴蝶定理的证明，出现过许多优美奇特的解法，并且知道现在还有很大的研究价值。其中最早的，应首推霍纳在1815年所给出的证法。至于初等数学的证法，在国外资料中，一般都认为是由一位中学教师斯特温首先提出的，它使用的是面积证法。1985年，在河南省《数学教师》创刊号上，杜锡录老师以《平面几何中的名题及其妙解》为题，载文向国内介绍蝴蝶定理，从此蝴蝶定理在神州大地到处传开。 [1]作者简介：陈富，祖籍江苏泰州，现就读于湖南工业大学机械工程学院机械系。 [2]指导老师简介：刘东南，祖籍湖南邵阳，现任湖南工业大学讲师。 在20世纪20年代时，蝴蝶定理作为一道几何题传到我国中学数学界，严济慈教授在《几何证题法》中有构思奇巧的证明。 如可将蝴蝶定理中的圆“压缩变换”为椭圆，甚至变为双曲线、抛物线、筝形、凸四边形、两直线，都依然成立。另外，如果将蝴蝶定理中的条件一般化，即M点不再是中点，能得到坎迪定理、若M、N点是AB的三等分点，两次应用坎迪定理，能得到“三翅蝴蝶定理”。 二 蝴蝶定理的证明 （一）运用简单的初中高中几何知识的巧妙证明 蝴蝶定理经常在初中和高中的试卷中出现，于是涌现了很多利用中学简单几何方法完成蝴蝶定理的方法。 带有辅助线的常见蝴蝶定理证明 在蝴蝶定理的证明中有各种奇妙的辅助线，同时诞生了各种美妙的思想，蝴蝶定理在这些辅助线的帮助下，翩翩起舞！ 证法1 如图2，作，则垂足分别为的中点，且由于 得共圆；共圆。 则 又，为的中点，从而， 则 ，于是。[1] 证法2 过作关于直线的对称点，如图3所示，则 eq \o\ac(○,1) 联结交圆于，则与关于对称，即 。又 故四点共圆，即 而 eq \o\ac(○,2) 由 eq \o\ac(○,1)、 eq \o\ac(○,2)知，，故。 证法3 如图4，设直线与交于点。对及截线，及截线分别应用梅涅劳斯定理，有 ， 由上述两式相乘，并注意到 得 化简上式后得。[2] 2 不使用辅助线的证明方法 单纯的利用三角函数也可以完成蝴蝶定理的证明。 证法 4 （Steven给出）如图5，并令 由，即 化简得 即 ，从而 。 证法 5 令，以点为视点，对和分别应用张角定理，有 上述两式相减，得 设分别为的中点，由，有 于是 ，而，知，故。 （二） 运用解析几何的知识完成蝴蝶定理的证明 在数学中用函数的方法解决几何问题也是非常重要的方法，所以解析几何上夜出现了许多漂亮的证明蝴蝶定理的方法，以下列出几个例子以供参考。 证法 6 （单墫教授给出）如图6，建立直角坐标系，则圆的方程可设为 。直线的方程为，直线的方程为。 由于圆和两相交直线组成了二次曲线系，其方程为 令，知点和点的横坐标满足二次方程， 由于的系数为，则两根和之和为，即，故。[5] 证法 7 如图7建立平面直角坐标系，则圆的方程可写为 直线、的方程可写为,。 又设的坐标为，则分别是二次方程 的一根。在轴上的截距为 。 同理，在轴上的截距为。注意到是方程的两根，是方程的两根，所以，从而易得 ，即。 证法 8 如图8，以为极点，为极轴建立极坐标系。因三点共线，令，则 即 eq \o\ac(○,1) eq \o\ac(○,2) 作于，作于。注意到 eq \o\ac(○,3) 由与可得 eq \o\ac(○,4) 将 eq \o