二重积分地计算方法(1).doc

实用标准文案 PAGE 1 精彩文档 1 利用直角坐标系计算 1.1 积分区域为X型或Y型区域时二重积分的计算 对于一些简单区域上的二重积分，可以直接化成二次积分来解决．在直角坐标系下，被积分函数在积分区域上连续时，若为型区域（如图1），即，其中在上连续，则有 ； （1） 图1若为型区域（如图2），即，其中在上连续，则有 图1 ．[1] （2） 例1 计算，其中是由，，及所围成． 分析 积分区域如图3所示，为型区域．确定了积分区域然后可以利用公式（1）进行求解． yy=xxy=1D2D1 y y=x xy=1 D2 D1 x O 2 1 1 2 图3 则 图41.2 积分区域非X型或Y型区域二重积分的计算 图4 当被积函数的原函数比较容易求出，但积分区域并不是简单的型或型区域，不能直接使用公式（1）或者（2）进行计算，这是可以将复杂的积分区域划分为若干型或型区域，然后利用公式 （3） 进行计算， 例2 计算二重积分，其中为直线及所围成的区域． 分析：积分区域如图5所示，区域既不是型区域也不是型区域，但是将可划分为均为型区域，进而通过公式（3）和（1）可进行计算． yxOx=2y y x O x=2y y=2x x+y=3 图5 ， 则 1.3 被积函数较为复杂时二重积分的计算 二重积分化为二次定积分后的计算可以按定积分的求解进行，但是当被积函数较为复杂，虽然能定出积分限，但被积函数的原函数不易求出或根本求不出，这时可根据被积函数划分积分区域，然后进行计算． OyxD1D2图6例3 计算二重积分，其中为区域， O y x D1 D2 图6 分析 由于被积函数含有绝对值，其原函数不能直接求得，以至于不能直接化为二次积分进行计算，观察函数本身，不难发现当我们把积分区域划分为，两部分后，被积函数在每一个积分区域都可以化为基本函数，其原函数很容易求得． 解 区域如图6可分为，其中 ， 由公式（3）则 2 利用变量变换法计算 定理1 设在有界区域上可积，变换，，将平面按段光滑封闭曲线所围成的区域一对一地映成平面上的区域，函数，在内分别具有一阶连续偏导数且它们的雅克比行列式，．则 （4） （4）式叫做二重积分的变量变换公式， 2.1 根据被积函数选取新变量使被积函数简化 当被积函数较为复杂，这时可以考虑利用变量变换化被积函数为简单函数，原积分区域相应的转化为新的积分区域，进而利用公式进行计算． 例4 求，其中是由所围曲线（图7） 分析 由于被积函数含有的指数，且较为复杂，这时可以考虑替换变量，简化被积函数，如果做替换：在变换作用下区域的原像如图8所示，根据二重积分的变量变换公式，积分计算就简单了． 解 做变换 所以 图8vuO 图8 v u O D y x O 图7 2.2 根据积分区域选择新变量计算二重积分 当被积函数比较简单，积分区域却比较复杂时，可考虑积分区域，若有且，则把平面上的积分区域对应到平面上简单的矩形区域，然后根据二重积分的变量变换公式（4）进行计算． 例5 求抛物线和直线所围区域的面积． 分析 的面积．实际是计算二重积分，其被积函数很简单，但是积分区域却比较复杂，观察积分区域不难发现；，如果设，则有， 解 的面积 作变换 ， 所以 ． 例6 求．所围区域． 分析 积分区域的处理与上题类似，可以做变量替换T：，它把平面上的区域对应到平面上的矩形区域． 解 令 在变换作用下，区域的原像 ， 所以 ． 2.3 利用极坐标变换计算二重积分 当被积函数含有、或形式或积分区域的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便，如圆形及圆形区域的一部分，可考虑用极坐标变换 ， 这个变换除原点和正实轴外是一一对应的（严格来说极坐标变换在原点和正实轴上不是一对一的，但可以证明公式（1）仍然成立），其雅可比行列式为. （1）如果原点，且平面上射线常数与积分区域的边界至多交于两点，则必可表示为 ， ． 则有 （5） 类似地，若平面上的圆常数与积分区域的边界至多交于两点，则必可表示为 ， 那么 （6） （2）如果原点为积分区域的内点，的边界的极坐标方程为，则可表示成 ， 则有 （7） （3）如果原点在积分区域的边界上，则为 ， 那么 （8） 例7 计算，其中为圆域： 分析 观察到积分区域为圆域，被积函数的形式为，且原点为的内点，故可采用极坐标变换，可以达到简化被积函数的目的． 解 作变换 ， 则有 ． yx图 8例8 计算二重积分，其中是由直线，以及曲线所围成的平面区域． y x 图 8 分析 首先根据题意，画出积分区域，由于积分区域与一起围成规则图形正方形，且为半圆区域，根据极坐标变换简