排列组合的问的题目基本类型及解的题目方法.doc

实用标准文案 PAGE 精彩文档 排列组合问题的基本模型及解题方法 导语：解决排列组合问题要讲究策略，首先要认真审题，弄清楚是排列(有序)还是组合(无序)，还是排列与组合混合问题。其次，要抓住问题的本质特征，准确合理地利用两个基本原则进行“分类与分步”。加法原理的特征是分类解决问题，分类必须满足两个条件：①类与类必须互斥(不相容)，②总类必须完备(不遗漏)；乘法原理的特征是分步解决问题，分步必须做到步与步互相独立，互不干扰并确保连续性。分类与分步是解决排列组合问题的最基本的思想策略，在实际操作中往往是“步”与“类”交叉，有机结合，可以是类中有步，也可以是步中有类，以上解题思路分析，可以用顺口溜概括为：审明题意，排（组）分清；合理分类，用准加乘；周密思考，防漏防重；直接间接，思路可循；元素位置，特殊先行；一题多解，检验真伪。注意以下几点： 1、解排列组合应用题的一般步骤为： ①什么事：明确要完成的是一件什么事（审题）； ②怎么做：分步还是分类，有序还是无序。 2、解排列组合问题的思路 两种思路：直接法，间接法。 两种途径：元素分析法，位置分析法。 3、基本模型及解题方法： (一)、元素相邻问题 （1）、全相邻问题，捆邦法 例1、6名同学排成一排，其中甲，乙两人必须排在一起的不同排法有（ C ）种。 A、720 B、360 C、240 D、120 说明：从上述解法可以看出，所谓“捆邦法”，就是在解决对于某几个元素要求相邻问题时，可以整体考虑将相邻元素视作一个“大”元素。 （2）、全不相邻问题插空法 例2、要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少不同的排法， 解：先将6个歌唱节目排好，其中不同的排法有6！，这6个节目的空隙及两端共有七个位置中再排4个舞蹈节目有种排法，由乘法原理可知，任何两个舞蹈节目不得相邻的排法为种 例3、高三（一）班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是 A、1800 B、3600 C、4320 D、5040 解：不同排法的种数为＝3600，故选B 说明：从解题过程可以看出，不相邻问题是指要求某些元素不能相邻，由其它元素将它隔开，此类问题可以先将其它元素排好，再将特殊元素插入，故叫插空法。 （3）、不全相邻排除法，排除处理 例4、五个人站成一排，其中甲、乙、丙三人有两人相邻，有多少排法？ 解： 例5、有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是 解法一：　　①前后各一个，有8×12×2＝192种方法 　　 ②前排左、右各一人：共有4×4×2＝32种方法 ③两人都在前排：两人都在前排左边的四个位置： 　　 乙可坐2个位置 乙可坐1个位置 2＋2＝4 1＋1＝2 　此种情况共有4＋2＝6种方法 因为两边都是4个位置，都坐右边亦有6种方法，所以坐在第一排总共有6＋6＝12种方法 　　④两人都坐在第二排位置，先规定甲左乙右 ? 　　∴　甲左乙右总共有种方法．同样甲、乙可互换位置，乙左甲右也同样有55种方法，所以甲、乙按要求同坐第二排总共有55×2＝110种方法。综上所述，按要求两人不同排法有 192＋32＋12＋110＝346种 解法二：考虑20个位置中安排两个人就坐，并且这两人左右不相邻，4号座位与5号座位不算相邻（坐在前排相邻的情况有12种。），7号座位与8号座位不算相邻（坐在后排相邻的情况有22种。），共有种 （二）、定序问题缩倍法 例6、信号兵把红旗与白旗从上到下挂在旗杆上表示信号，现有3面红旗、2面白旗，把5面旗都挂上去，可表示不同信号的种数是（ ）（用数字作答）。 解：5面旗全排列有种挂，由于3面红旗与2面白旗的分别全排列均只能作一次的挂法，故有 说明:在排列的问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序问题,这类问题用缩小倍数的方法求解比较方便. 例7、某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。那么安排这6项工程的不同排法种数是 。 解一：依题意，只需将剩余两个工程插在由甲、乙、丙、丁四个工程形成的5个空中（插一个或二个），可得有＝30种不同排法。 解二：=30 例8、由数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的6位数，其中个位数字小于十位的数字的共有（ ） A、210个 B、300个 C、464个 D、600个 解：