第3章--连续系统数字仿真的基本算法.pptx

第3章 连续系统数字仿真的基本算法2.1 数值积分算法 2.2 数值积分算法的基本分析 2.3 连续系统仿真的离散相似算法2.4 常用快速数字仿真算法2.5 实时数字仿真算法 小结3.1 数值积分算法上一页下一页返回3.1.1 数值积分算法的基本原理3.1.2 欧拉法3.1.3 龙格-库塔法3.1.4 微分方程数值积分的矩阵分析 3.1.1 数值积分算法的基本原理连续系统仿真的数值积分算法就是利用数值积分法将常微分方程（组）描述的连续系统变换成离散形式的仿真模型——差分方程（组）。为了能在计算机上进行求解，首先要把被仿真系统的数学模型表示为一阶微分方程组或状态空间模型。上一页下一页返回 假设一阶向量微分方程及初值问题为 (2.1)可以写成一阶微分方程组和初值问题形式(2.2)上一页下一页返回在上的解析解为 (2.3)希望用公式 (2.4) 来代替解析解，其中 ， ， 分别是 ， ，的近似解。上一页下一页返回 所谓数值解法就是寻求初值问题的解在一系列离散时间点 。上的近似解相邻两个离散时间点的间距 称为步长或步距 。数值积分法的主要问题归结为如何对向量函数 在区间 上定积分的近似解 进行数值积分，求出 ，并且数值方法的共同特点是步进式的（即所谓递推式的）。 常用的基本算法可以分为单步法、多步法和预估-校正法三大类，而每一类算法又可以分为显式算法和隐式算法两种类型。上一页下一页返回 先从标量形式开始讨论。考虑一阶微分方程及初值问题 (2.5) 解析解为 (2.6) 希望用公式 (2.7) 来代替解析解，其中 分别是, ,的近似值。上一页下一页返回3.1.2 欧拉法 欧拉（Euler）法是一种最简单的数值积分算法，对于 在区间 上求积分，有 (2.8)若区间 可以近似地足够小，则 上的 看成是常数上一页下一页返回 (2.9)即有 欧拉法为 (2.10)式中上一页下一页返回 欧拉法的图形表示： 为图2.1中的非曲面面积actk+1tk，欧拉法用矩形面积abtk+1tk代替。图2.1显然，欧拉法仅适用于步长h很小的场合。 上一页下一页返回3.1.3 龙格-库塔法龙格-库塔（Runge-Kutta）法是求解常微分方程初值问题(2.5)式的各种数值积分算法中应用得最广泛的一种，包括许多不同的公式。思路：用若干个时间点上 f 的函数值的线性组合来代替 f 的各阶导数项，然后按泰勒公式展开确定其中的系数。 上一页下一页返回 RK法包含有显式、隐式和半隐式等算法。仅介绍显式RK法。 一般形式： (2.13) 式中， Wi为待定的权因子；r为使用的k值的个数；ki为不同时间点上导数 f 的值；ci，aij为待定系数。上一页下一页返回当r =1时，只有一个k1，就得到了欧拉法 当r =2时，(2.14)将 中，并将 在 附近用泰勒级数展开,代入 可得 (2.15)上一页下一页返回于是，有 (2.16) 将其与泰勒级数式逐项进行比较，令h，h2项的对应系数相等，得到以下关系 (2.17)取c2=1，有 上一页下一页返回从而，有RK2法 (2.18)当r=3时，可得RK3 法 (2.19)上一页下一页返回 当r=4时，可得到如下著名的四阶RK法（亦称为经典RK法，简记为RK4法）。 (2.20) 该算法是数字仿真中最常用的一种算法。计算量较大，但计算精度较高。在实际仿真中得到了广泛的应用。上一页下一页返回几种数值积分法都可以看成是 在 附近用泰勒级数展开而产生的，只不过是泰勒级数所取项数的多少不同而已。欧拉法只取前两项， RK2法取了前三项，RK4法取了前五项。从理论上讲，可以构造任意高阶的计算方法。但是，精度的阶数与计算函数f值的次数之间的关系并非等量增加的。 上一页下一页返回表2.1 f 的计算次数与算法精度阶数的关系 每步计算f 的次数234567r≥8算法精度阶数234456r-2由此可见，RK4法有其优越性。 上一页下一页返回3.1.4 微分方程数值积分的矩阵分析 对于一阶向量微分方程及初值问题 (2.21)RK4法的向量形式为 (2.22)上一页下一页返回具体写出来就是(2.23)上一页下一页返回 在控制系统的仿真中，最常见的向量微分方程是线性定常系统的状态方程 (2.24)即有(2.25)RK4法的4个可表示为 (2.26)上一页下一页返回3.2 数值积分算法的基本分析3.2.1 单步法和多步法3.2.2 显式算法和隐式算法3.2.3 截断误差和舍入误差3.2.4 数值积分算法的计算稳定性3.2.5 数值积分算法的计算精度、速度、稳定性与步长的关系3.2.6 数值积分算法的选择原则3.2.7 误差