二次函数的动点问的题目(提高篇).doc

实用标准文案 PAGE 精彩文档 数学压轴题 二次函数动点问题 1.如图，抛物线y＝ax 2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A(－3，0)、B两点，与y轴相交于点C(0，)．当x＝－4和x＝2时，二次函数y＝ax 2＋bx＋c(a≠0)的函数值y相等，连结AC、BC． （1）求实数a，b，c的值； （2）若点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为t秒时，连结MN，将△BMN沿MN翻折，B点恰好落在AC边上的P处，求t的值及点P的坐标； （3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得以B，N，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）由题意得 解得a＝－，b＝－，c＝． （2）由（1）知y＝－x 2－x＋，令y＝0，得－x 2－x＋＝0． 解得x1＝－3，x2＝1． ∵A(－3，0)，∴B(1，0)．又∵C(0，)，∴OA＝3，OB＝1，OC＝， ∴AB＝4，BC＝2．∴tan∠ACO＝＝，∴∠ACO＝60°，∴∠CAO＝30°． 同理，可求得∠CBO＝60°，∠BCO＝30°，∴∠ACB＝90°． ∴△ABC是直角三角形． 又∵BM＝BN＝t，∴△BMN是等边三角形． ∴∠BNM＝60°，∴∠PNM＝60°，∴∠PNC＝60°． ∴Rt△PNC∽Rt△ABC，∴＝． 由题意知PN＝BN＝t，NC＝BC－BN＝2－t，∴＝． ∴t＝．∴OM＝BM－OB＝－1＝． 如图1，过点P作PH⊥x轴于H，则PH＝PM·sin60°＝×＝． MH＝PM·cos60°＝×＝．∴OH＝OM＋MH＝＋＝1． ∴点P的坐标为(－1，)． （3）存在． 由（2）知△ABC是直角三角形，若△BNQ与△ABC相似，则△BNQ也是直角三角形． ∵二次函数y＝－x 2－x＋的图象的对称轴为x＝－1．∴点P在对称轴上． ∵PN∥x轴，∴PN⊥对称轴． 又∵QN≥PN，PN＝BN，∴QN≥BN． ∴△BNQ不存在以点Q为直角顶点的情形． ①如图2，过点N作QN⊥对称轴于Q，连结BQ，则△BNQ是以点N为直角顶点的直角三角形，且QN＞PN，∠MNQ＝30°． ∴∠PNQ＝30°，∴QN＝＝＝． ∴＝＝．∵＝tan60°＝，∴≠． ∴当△BNQ以点N为直角顶点时，△BNQ与△ABC不相似． ②如图3，延长NM交对称轴于点Q，连结BQ，则∠BMQ＝120°． ∵∠AMP＝60°，∠AMQ＝∠BMN＝60°，∴∠PMQ＝120°． ∴∠BMQ＝∠PMQ，又∵PM＝BM，QM＝QM． ∴△BMQ≌△PMQ，∴∠BQM＝∠PQM＝30°．∵∠BNM＝60°，∴∠QBN＝90°． ∵∠CAO＝30°，∠ACB＝90°．∴△BNQ∽△ABC． ∴当△BNQ以点B为直角顶点时，△BNQ∽△ABC． 设对称轴与x轴的交点为D． ∵∠DMQ＝∠DMP＝60°，DM＝DM，∴Rt△DMQ≌Rt△DMP． ∴DQ＝PD，∴点Q与点P关于x轴对称．∴点Q的坐标为(－1，－)． 综合①②得，在抛物线的对称轴上存在点Q(－1，－)，使得以B，N，Q为顶点的三角形与△ABC相似． 2.如图①，已知抛物线y＝ax 2＋bx＋3（a≠0）与x轴交于点A(1，0)和点B(－3，0)，与y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标． 解：（1）由题意得．解得． ∴所求抛物线的解析式为y＝－x 2－2x＋3； （2）存在符合条件的点P，其坐标为P(－1，)或P(－1，) 或P(－1，6)或P(－1，)； （3）解法一： 过点E作EF⊥x轴于点F，设E(m，－m 2－2m＋3)（－3＜ a ＜0） 则EF＝－m 2－2m＋3，BF＝m＋3，OF＝－m． ∴S四边形BOCE ＝S△BEF ＋S梯形FOCE＝BF·EF ＋(EF＋OC)·OF ＝(m＋3)(－m 2－2m＋3)＋(－m 2－2m＋6)(－m)． ＝－m 2－m＋＝－(m＋)2＋ ∴当m＝－时，S四边形BOCE 最大，且最大值为． 此时y＝－(－)2－2×(－)＋3＝∴此时E点的坐标为(－，)． 解法二：过点E作EF⊥x轴于点F，设E(x，y)（－3＜ x ＜0） 则S四边形BOCE ＝S△BEF ＋S梯形FOCE＝BF·EF ＋(EF＋OC)·OF ＝(3＋x)· y＋(3＋y)(－x)．＝(y－x)＝(－x 2－3x＋3