浅析洛必达法则求函数极限.doc

实用标准文案 精彩文档 PAGE 1 用洛必达法则求未定式极限的方法 一、 洛必达法则求函数极限的条件及适用范围 （一）洛必达法则定理 定理1[1] 若函数与函数满足下列条件： （1）在的某去心邻域内可导，且 （2） （3） 则（包括A为无穷大的情形） 定理2 若函数和满足下列条件 （1）在的某去心邻域内可导，且 （2） （3） 则（包括A为无穷大的情形） 此外法则所述极限过程对下述六类极限过程均适用： 。 定理证明：作辅助函数 于是函数F(x)及G(x)在[）连续，在可导，并且今对内任意一点，利用柯西中值定理得 由的定义，上式即 所以当时（这时显然有），对上式两端取极限，即 证毕。 关于定理二的证明方法也同定理1类似，这里就不点出。当然，还有其他不同的证明方法。 （二）洛必达法则使用条件 只有在分子、分母同时趋于零或者同时趋于无穷大时，才能使用洛必达法则。 连续多次使用法则时，每次都要检查是否满足定理条件，只有未定式方可使用，若是检查结果满足法则使用条件，才可连续使用洛必达法则，直到求出函数极限或者为无穷大，否则就会得出错误的结果，下面举个例子来说明。 例1：求 分析：根据洛必达法则使用条件，此式为型，所以可以使用洛必达法则，但是，结果所得非不定式，所以只能使用一次洛必达法则，而不能再进行第二次。 解： 事实上，，这里为了说明问题，才使用上面的解法，这里也可以看出，寻找最为简便的解题方法才是正确解题的关键。 二、洛必达法则的应用 （一） 基本类型：不定式直接应用法则求极限 例2：求 解： 这是待定型。运用洛必达法则，我们有 因为 从而 例4：求 解：上述极限是待定型，于是 （二） 未定式的其它类型：、、、、型极限的求解 此外，除了这两种待定型外，还可以通过转化，来解其他待定型。譬如等待定型，由于他们都可以转化为， 因此，也可以用洛必达法则来求出他们的值[2]。 关于如何转换，例如则是形式，这时，可以写为，这就转化为了。此外对于等不定式，可以取对数化为的形式，再运用如上方法便可转化为了，下面对这些待定型一一举例解答以作说明[3]。 例5： 解：这是型，设法化为形式： = = = = 例6：求 解：这是 =exp =exp = 例7：求 解:这是待定型，经变形得， 而 故 例8：求 解：这是待定型，可变形为，成了待定型，于是 例9：求 解：这是待定型，由对数恒等式知，，运用例8可得 三、洛必达法则对于实值函数的失效问题 洛必达法则可谓是在求不定式极限中作用最为显赫的一种方法，当然，它也有失效的时候。“失效”的原因则是因为题目本身不满足可以使用洛必达法则的几个条件。所以，在要使用洛必达法则时，则要检验该题目是否符合洛必达法则条件，洛必达法则失效的基本原因有以下几种。 （一）使用洛必达法则后，极限不存在（非），也就是不符合以上定理1、2的条件（3）[4] 例10：计算 解：原式= （二）使用洛必达法则后，函数出现循环，而无法求出极限，也就是不符合定理1、定理2的条件（3） 例11：计算 解：原式==1 （三）使用洛必达法则后，函数越来越复杂，无法简单判断出函数是否存在极限，也就是不符合定理1、定理2的条件（3） 例12：计算 解：令，则原式= （四）求导后有零点，也就是不满足条件 例如 ， 的极限是不存在的，事实上，取，此时分母的导数是有零点的。 四、洛必达法则与其它求极限方法比较 使用洛必达法则时不要忽视别的求极限方法，并不是所有不定型用洛必达法则最为方便，在关注使用洛必达法则的同时，我们还要注意到其他求极限的方法，依题目而选定最合适的方法。 对于解函数极限的题，若是不定式符合洛必达法则条件，确实可使用洛必达法则，但也不是说单一只能使用洛必达法则，也可以试着洛必达法则同其他方法一起，可能可以使解题更为简便。 （一）洛必达法则与无穷小代替法 应用等价无穷小量代替法化简，牢记下列等价无穷小量：当时， 用此方法应要注意，加减的无穷小量不能用等价无穷小量代替，需是无穷小量比的形式，或是极限中的乘积因子为无穷小量，且替换后极限存在，才能用等价无穷小量替换[5]，下面举个例子作为比较。 例13 求 解1：（运用无穷小量代替法） 解2：